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时，两条曲线分别位于第一、三象限，,在每个象限内，,y,随,x,的增大而减小；,当,k,0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，,y,随,x,的增大而增大,.,复习引入,问题,1,问题,2,导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有,反比例函数解析式中,k,的几何意义,一,1.,在反比例函数 的图象上分别取点,P,，,Q,向,x,轴、,y,轴作垂线，围成面积,分别,为,S,1,，,S,2,的矩形，,填写下页表格：,合作探究,反比例函数解析式中 k 的几何意义一1.在反比例函数,5,1,2,3,4,1,5,x,y,O,P,S,1,S,2,P,(2,，,2),Q,(4,，,1),S,1,的值,S,2,的值,S,1,与,S,2,的关系,猜想,S,1,，,S,2,与,k,的关系,4,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,5123415xyOPS1 S2P(2，2)S1,S,1,的值,S,2,的值,S,1,与,S,2,的关系,猜想与,k,的关系,P,(,1,，,4),Q,(,2,，,2),2.,若在反比例函数 中也,用同样的方法分别取,P,，,Q,两点，填写表格：,4,4,S,1,=,S,2,S,1,=,S,2,=,k,y,x,O,P,Q,S,1,S,2,S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P(1,由前面的探究过程，可以猜想：,若点,P,是 图象上的任意一点,，作,P,A,垂直于,x,轴，作,P,B,垂直于,y,轴，矩形,AOB,P,的面积与,k,的关系是,S,矩形,AOB,P,=,|,k,|,.,由前面的探究过程，可以猜想：若点P是,y,x,O,P,S,我们就,k,0,的情况给出证明：,设点,P,的坐标为,(,a,，,b,),A,B,点,P,(,a,，,b,),在函数 的图,象上，,，即,ab=k,.,S,矩形,AOB,P,=,PB,PA=,a,b=,ab=,k,；,若点,P,在第二象限，则,a,0,，,若点,P,在第四象限，则,a,0,，,b,0,的情况,.,yxOPS我们就 k,SB,SC,B.,SA,SB,SC,C.,SA,=,SB,=,SC,D.,SA,SC,SBSC B.SASB0,),图像上的任意两点，过点,P,作,x,轴的垂线,PA,，垂足为,A,，过点,C,作,x,轴的,垂线,CD,，垂足为,D,，连接,OC,交,PA,于点,E,.,设,POA,的面积,为,S,1,，则,S,1,=,；梯形,CEAD,的面积为,S,2,，则,S,1,与,S,2,的大小,关系是,S,1,S,2,；,POE,的面,积,S,3,和,S,2,的大小关系是S,2,S,3,.,典例精析,2,S,1,S,2,S,3,例1 如图，P，C是函数 (x0),如图所示，直线与双曲线交于,A,，,B,两点，,P,是,AB,上的点，,AOC,的面积,S,1,、,BOD,的面积 S,2,、,POE,的面积,S,3,的大小关系为,.,S,1,=,S,2,S,3,练一练,解析：由,反比例函数面积的不变,性易知,S,1,=,S,2,.,PE,与双曲线的一,支交于点,F,，连接,OF,，易知，,S,OFE,=,S,1,=,S,2,，而,S,3,S,OFE,，,所以,S,1,，,S,2,，,S,3,的大小关系为,S,1,=,S,2,0,b,0,k,1,0,k,2,0,b,0,合作探究,x,y,O,x,y,O,反比例函数与一次函数的综合二 在同一坐标系中，,k,2,0,b,0,k,1,0,k,2,0,x,y,O,k,1,0,x,y,O,k2 0 xyO,例,4,函数,y,=,kx,k,与 的图象大致是,(),D.,x,y,O,C.,y,A.,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k,0,k,0,k,0,k,0,由一次函数增减性得,k,0,由一次函数与,y,轴交点知,k,0,，,则,k,0,x,提示：,由于两个函数解析式都含有相同的系数,k,，可对,k,的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案,.,例4 函数 y=kxk 与,在同一直角坐标系中，函数,与,y,=,ax,+1,(,a,0),的图象可能是,(),A.,y,x,O,B.,y,x,O,C.,y,x,O,D.,y,x,O,B,练一练,在同一直角坐标系中，函数,例,5,如图是一次函数,y,1,=,kx,+,b,和反比例函数 的图象，观察图象，当,y,1,y,2,时，,x,的取值范围为,.,2,3,y,x,0,2,x,3,解析：,y,1,y,2,即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时,.,观察右图，可知,2,x,3.,方法总结：,对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了,.,例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数,练一练,如图，一次函数,y,1,=,k,1,x,+,b,(,k,1,0,),的图象与反比例函数,的图象交于,A,，,B,两点，观察图象，当,y,1,y,2,时，,x,的取值范围是,1,2,y,x,0,A,B,1,x,2,练一练 如图，一次函数 y1=k1x+b,例,6,已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点,P,(,3,，,4),.,试求出它们的解析式，并画出图象,.,由于这两个函数的图象交于点,P,(,3,，,4),，则点,P,(,3,，,4),是这两个函数图象上的点，即点,P,的坐标分别满足这两个解析式,.,解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为,y,=,k,1,x,和,.,所以 ，,.,解得 ，,.,例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(,P,则这两个函数的解析式分别为 和 ，,它们的图象如图所示,.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,想一想：,P则这两个函数的解析式分别为 和,反比例函数 的图象与正比例函数,y,=3,x,的图象的交点坐标为,(2,，,6),，,(,2,，,6),解析：,联立两个函数解析式，解方程即可,.,练一练,反比例函数 的图象与正,例,7,已知,A,(,4,，,),，,B,(,1,，,2),是一次函数,y,=,kx,+,b,与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数,解析式及,m,的值,.,解：把,A,(,4,，,),，,B,(,1,，,2),代入,y,=,kx,+,b,中，得,4,k,+,b,=,，,k,+,b,=2,，,k,=,，,解得,b,=,，,所以一次函数的解析式为,y,=,x,+.,例7 已知 A(4，)，B(1，2)是一次函数 y,把,B,(,1,，,2),代入 中，得,m,=,1,2=,2.,把 B(1，2)代入 中，得 m,当堂练习,A.4 B.2,C.,2 D.,不确定,1,.,如图所示，,P,是反比例函数 的图象上一点，,过点,P,作,PB,x,轴于点,B,，点,A,在,y,轴上，,ABP,的面积为 2，则,k,的值为,(),O,B,A,P,x,y,A,当堂练习A.4 B.2,2.,如图，函数,y,x,与函数 的图象相交于,A,，,B,两点，过点,A,，,B,分别作,y,轴的垂线，垂足分别,为,C,，,D,，则四边形,ACBD,的面积为 (),A,.,2 B,.,4,C,.,6 D,.,8,D,y,x,O,C,A,B,D,2.如图，函数 yx 与函数,3.,反比例函数 的图象与一次函数,y,=2,x,+1 的,图象的一个交点是(1，,k,)，则反比例函数的解析,式是_,3.反比例函数 的图象与一次函数 y,4.,如图，直线,y,=,k,1,x,+,b,与反比例函数,(,x,0),交于,A,，,B,两点，其横坐标分别为1和5，则不等式,k,1,x,+,b,的解集是_,1,x,5,O,B,A,x,y,1,5,4.如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数,x,y,O,B,A,5,.,如图，直线,y,=,a,x,+,b,与双曲线 交于两点,A,(1,，,2),，,B,(,m,，,4),两点，,(,1,),求直线与双曲线的解析式；,所以,一次函数的解析式为,y,=4,x,2.,把,A,，,B,两点坐标代入一次函数解析式中，得到,a,=4,，,b,=,2.,解：把,B,(1,，,2),代入双曲线解析式中，,得,k,=2,，故其解析式为,.,当,y,=,4,时，,m,=.,xyOBA5.如图，直线 y=ax+b 与双曲线,(,2,),求不等式,a,x,+,b,的解集,.,x,y,O,B,A,解：根据图象可知，若,a,x,+,b,，,则,x,1,或 ,x,0.,(2)求不等式 ax+b 的解集.,6,.,如图，反比例函数 与一次函数,y,=,x,+,2,的图象交于,A,，,B,两点,.,(,1,),求,A,，,B,两点的坐标；,A,y,O,B,x,解：,y,=,x,+2,，,解得,x,=4,，,y,=,2,所以,A,(,2,，,4),，,B,(4,，,2),.,或,x,=,2,，,y,=4.,6.如图，反比例函数 与一次函数,作,AC,x,轴于,C,，,BD,x,轴于,D,，,则,AC,=4,，,BD,=2.,(,2,),求,AOB,的面积,.,解：一次函数与,x,轴的交点为,M,(2,，,0),，,OM,=2.,O,A,y,B,x,M,C,D,S,OMB,=,OM,BD,2=2,2,2=2,，,S,OMA,=,OM,AC,2=2,4,2=4,，,S,AOB,=,S,OMB,+,S,OMA,=2+4=6.,作ACx轴于C，BDx轴于D，(2)求AOB的面积,课堂小结,面积问题,面积不变性,与一次函数的综合,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨
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