矩阵的特征值和特征向量

单击此处编辑母版标题样式,2019年2月2日星期六,#,返回,上页,下页,目录,15 十一月 2024,1,第三章 矩阵的特征值与特征向量,1,方阵的特征值与特征向量,2,矩阵的对角化,15 十一月 2024,2,第,1,节,方阵的特征值与特征向量,15 十一月 2024,3,定义,3.1,3.1.1,特征值与特征向量的基本概念,15 十一月 2024,4,例,1,解,是,不是,15 十一月 2024,5,命题,1,命题,2,命题,3,矩阵,A,的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,15 十一月 2024,6,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵,A,的特征值与特征向量？,15 十一月 2024,7,矩阵的特征方程和特征多项式定义,3.2,A,的特征方程,A,的特征多项式,A,的特征矩阵,特征方程的根称为,A,的,特征根,，,也称为,A,的,特征值,。,15 十一月 2024,8,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵,A,的特征方程,2.,求特征方程的根，即特征值,3,.,对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去,0,向量,便得属于,的全部特征向量。,15 十一月 2024,9,例,2,：求矩阵的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,A,的特征值为,15 十一月 2024,10,得基础解系,得基础解系,15 十一月 2024,11,练习,:,求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,A,的特征值为,即,对应的特征向量可取为,15 十一月 2024,12,对应的特征向量可取为,15 十一月 2024,13,3.1.2,特征值与特征向量的性质,定理,1,定理,2,推论,若,n,阶方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关,。,15 十一月 2024,14,定理,3,15 十一月 2024,15,(2),由于,15 十一月 2024,16,定理,4,设,A,是,n,阶方阵，,是,的特征值,.,若,为,A,的特征值，则,15 十一月 2024,17,例,3,设,A,是一个三阶矩阵，,1,，,2,，,3,是它的三个特征值，试求,（,1,）,A,的主 对角线元素之和,（,2,）,解,的特征值依次为,15 十一月 2024,18,例,4,试证,n,阶矩阵,A,是奇异矩阵的充要条件是,A,中至少,有一个特征值为,0,。,证明,因为,为,A,的特征值,）,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零,。,15 十一月 2024,19,第,2,节,矩阵的对角化,15 十一月 2024,20,定义,3.3,设,A,和,B,为,n,阶矩阵,如果存在,n,阶可逆矩阵,P,，,使得,则称,A,相似于,B,，或说,A,和,B,相似,(similar),记做,A,B.,性质,（,1,）反身性,A,相似于,A,（,2,）对称性,A,相似于,B,，可推出,B,相似于,A,（,3,）传递性,A,相似于,B,，,B,相似于,C,，可推出,A,相似于,C,。,3.2.1,相似矩阵及其性质,15 十一月 2024,21,方阵的迹定义,3.4,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例,5,Tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质,：,(1),Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B),(2),Tr(AB)=Tr(BA)(,性质,3.1),15 十一月 2024,22,性质,：,(1),Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B),(2),Tr(AB)=Tr(BA)(,性质,3.1),15 十一月 2024,23,相似矩阵的性质,若,A,和,B,相似，则,A,和,B,有相等的秩。,2.,方阵,A,和,B,有相等的行列式,。,(,性质,3.2),证明（,1,）,15 十一月 2024,24,3.,方阵,A,和,B,有相等的迹,。,(,性质,3.2),4.,方阵,A,和,B,有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。,TH5,推论,如果矩阵,A,相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是,A,的全部特征值。,15 十一月 2024,25,定理,3.6,n,阶矩阵,A,与,n,阶对角矩阵相似的充分必要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量,。,充分性,3.2.2,矩阵的对角化,15 十一月 2024,26,必要性,设,A,相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵,B,，使得,由,B,可逆便知：,都是非零向量，因而都是,A,的特征,向量，且,线性无关。,15 十一月 2024,27,推论,如果,n,阶矩阵,A,的特征值,互不相同,则,A,相似于对角矩阵,定理,3.7,n,阶 矩阵,A,与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值,对应着 个线性无关的特征向量,.,15 十一月 2024,28,相似变换,若,A,有,n,个线性无关的特征向量则,A,相似于对角阵,15 十一月 2024,29,例,矩阵,A,=,能否相似于对角阵？,解,=(,-,2)(,-,1),2,所以,A,的特征值为,1,=2 ,2,=,3,=1,对于,2,=,3,=1,，解方程组,(,I,A,),=0,对系数矩阵作初等变换,15 十一月 2024,30,解方程组 得通解,为任意常数）,因为,2,=,3,=1,是二重根，而对应于,2,=,3,=1,无两个线性无关的特征向量，故,A,不能与对角阵相似。,15 十一月 2024,31,例,用相似变换化下列矩阵为对角形,解,:,A,的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,15 十一月 2024,32,15 十一月 2024,33,练一练,用相似变换化矩阵为对角形,.,15 十一月 2024,34,应用,:,利用对角化计算矩阵的乘方,15 十一月 2024,35,设,解,:,A,的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例,7,15 十一月 2024,36,15 十一月 2024,37,15 十一月 2024,38,THE END.,P88,将一个方阵,A,对角化的三步骤,.,思考,?,第三章作业,:,1(4),3,7,9,10(3),11,15,16,15 十一月 2024,39,练习,已知,问 满足什么条件时，,A,可对角化？,解,首先,所以，,A,的特征值为,2,（重数为,1,）和,1,（重数为,2,）。,15 十一月 2024,40,考虑,A,的特征值,1,。对方程组 ，,仅当 秩 时，才能使基础解系含,2,个解向量。,又,故 。,所以，当 时，,A,可对角化。,