几类特殊函数的积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之,.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是,真分式,；,这有理函数是,假分式,；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,.,例,难点,将有理函数化为简单分式之和,.,（,1,）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为简单分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,（,2,）分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为简单分式之和的,待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,例,4,求积分,解,例,5,求积分,解,例,6,求积分,解,令,说明,将有理函数化为简单分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,.,结论,有理函数的原函数都是初等函数,.,解,解,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,令,（万能置换公式）,例,7,求积分,解,由万能置换公式,例,8,求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,解（三）,可以不用万能置换公式,.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,.,例,9,求积分,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号,.,例,10,求积分,解,令,三、简单无理函数的积分,例,11,求积分,解,令,说明,无理函数去根号时,取根指数的,最小公倍数,.,例,12,求积分,解,先对分母进行有理化,原式,简单无理式的积分,.,有理式分解成部分分式之和的积分,.,（,注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分,.,（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式,.,练习题,练习题答案,