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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专业课件，精彩无限！,函数与极限,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,专业课件，精彩无限！,函数与极限,*,1,第二节 数列的极限,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、数列极限的性质,五、小结 思考题,1,1第二节 数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列,2,单击任意点开始观察,1,.【,割圆术,】,观察完毕,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,【,引例,】,一、概念的引入,2单击任意点开始观察1.【割圆术】观察完毕“割之弥细，所失弥,3,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,3正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积,4,2,.【,截丈问题,】,“,一尺之棰，日取其半，万世不竭”,公元前,300,年左右，中国古代思想家墨子语：,42.【截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前30,5,二、数列的定义,【,例如,】,5二、数列的定义【例如】,6,【,注意,】,1,.,数列对应着数轴上一个点列,.,可看作一动点在数轴上依次取,2,.,数列是整标函数,6【注意】1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上,7,单击任意点开始观察,三、数列的极限,观察结束,7单击任意点开始观察三、数列的极限观察结束,8,【,问题,1,】,当,无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值,?,如果是,如何确定,?,【,问题,2,】,“,无限接近,”,意味着什么,?,如何用数学语言刻划它，,描述它,。,通过上面演示实验的观察,:,【,直观定义,】,当,n,无限增大时，,x,n,无限接近于一个确定的常数,a,，称,a,是数列,x,n,的,极限,.,“,距离任意 小”,8【问题1】当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的数,9,9,10,【,发散,】,如果数列没有极限,就说数列是,发散,的,.,【,说明,】,发散有,不存在,；,-,；,+,；,。,1,.【,精确定义,】,设,x,n,为一数列,若存在常数,a,对任给定的正数,(,不论它多么小,),总存在正数,N,使得当,n N,时，不等式,|,x,n,-,a,|,N,时，有无穷多个点落在,(,a,-,a,+,),内”是,等价解释,，正确吗？,123.【几何解释】等价解释2.【N 定义】Any表任,13,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,【,例,1,】,【,证,】,所以,【,注意,】,13数列极限的定义未给出求极限的方法.【例1】【证】所以,【,14,【,例,2,】,【,证,】,【,练习,】,证明常数列的极限等于它本身,.,（,公式,）,所以,14【例2】【证】【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式,15,【,例,3,】,【,证,】,【,小结,】,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找,N,但不必要求最小的,N,.,公式,15【例3】【证】【小结】用定义证数列极限存在时,关键是任意,16,【,补例,4,】,【,证,】,放大不等式,16【补例4】【证】放大不等式,17,【,注意,】,(1),即 ，通过,不等式的放大等措施求出正整数,N,，再定出,n,的范围，从而保证 成立,.,(,2,),N,与,是相对应的，但,N,不是唯一的,;,N,有无穷多个，则,“,n,N,”,允许为,“,n,N,”,.,(,3,),同理，因,任意，则,2,，等也任意，则,允许为,17【注意】(1)即 ，通过不等式的放大等措施,18,四、,数列极限的性质,1,.,唯一性,【,定理,1,】,每个收敛的数列只有一个极限,.,【,证,】,注意以下证明都是已知极限存在时，利用,的给定性来论证的,用反证法,18四、数列极限的性质1.唯一性【定理1】每个收敛的数列只有,19,【,例,5,】,【,证,】,由定义,区间长度为,1.,矛盾,【,证完,】,19【例5】【证】由定义,区间长度为1.矛盾 【证完】,20,2,.,有界性,【,例如,】,有界,无界,不可能同时位于,长度为,1,的区间内,.,202.有界性【例如】有界无界不可能同时位于长度为1的区间内,21,(2),【,定理,2,】,收敛的数列必定有界,.,【,证,】,由定义,【,注意,】,逆否命题必成立：,无界数列必定发散,.,逆命题不成立；,有界列不一定收敛,.,数列有界是收敛的,必要条件,.,21(2)【定理2】收敛的数列必定有界.【证】由定义,【注意,22,3,.,保号性,【,定理,3,】,【,证明,】,由数列极限定义，,有,从而,【,证完,】,223.保号性【定理3】【证明】由数列极限定义，有从而,23,【,推论,】,【,证明,】,以下用反证法,由定理,3,知,【,证完,】,23【推论】【证明】以下用反证法由定理3知【证完】,24,4,.【,子数列的收敛性,】,（,收敛列与其子列的关系,）,【,注意,】,例如,（,1,）,【,定义,】,244.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）【注意】,25,（,2,）,【,定理,4,】,收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同,【,证,】,【,分析,】,欲证,25（2）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛【证】【分析,26,【,证毕,】,（寻找到,K,）,26【证毕】（寻找到K）,27,【,注意,】,a,.,常用此关系判断一个数列,极限不存在,方法,：若数列有两个子列收敛于不同的极限，,则原数列发散,.,如数列,方法,：若数列有一个子列发散,则原数列发散,.,如,b,.,上例说明了发散数列也,可能,有收敛的子列,.,27【注意】a.常用此关系判断一个数列极限不存在方法：若,28,五、小结,数列,:,研究其变化规律,;,数列极限,:,极限思想、精确定义、几何意义,;,收敛数列的性质,:,唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性,.,28五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定,29,【,思考题,】,【,错证,】,可以证明,因为,解新的不等式,故,当,时必有,证完,29【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时必有证,30,【,思考题解答,】,【,分析,】,错误：,极限是,1,明显是不对的，,应为,0.,错误：,推导过程中又将,不适当,的放大，致使不等式：,不能对,任何,0,成立,.,例如,取,=1/2,时，找不到,n,满足该不等式,.,【,结论,】,极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地,放大不等式,，就会导致荒谬的结果,.,切记证明中应,适当放大,，且最终必须是,无穷小,（即极限为,0,），否则无法保证小于任给的,0.,30【思考题解答】【分析】错误：极限是1 明显是不对的，应,31,【,正确证法,】,因为,解不等式,故取,则当,n,N,时，必有,故,证完,31【正确证法】因为解不等式故取则当nN 时，必有故证完,
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