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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,西安电子科技大学电路与系统教研中心,第5-,*,页,电子教案,第五章 连续系统的,s,域分析,5.1,拉普拉斯变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,二、收敛域,三、,(,单边,),拉普拉斯变换,5.2,拉普拉斯变换的性质,5.3,拉普拉斯变换逆变换,5.4,复频域分析,一、微分方程的变换解,二、系统函数,三、系统的,s,域,框图,四、电路的,s,域,模型,点击目录 ，进入相关章节,第五章 连续系统的,s,域分析,频域分析,以,虚指数信号,e,j,t,为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：,（,1,）有些重要信号不存在傅里叶变换，如,e,2t,(t),;,（2）,对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。,在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。,本章引入,复频率,s=+j,以复指数函数,e,st,为,基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是,复频率,s,，,故,称为,s,域分析,。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,5.1,拉普拉斯变换,一、从傅里叶到拉普拉斯变换,有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子,e,-t,(,为实常数）乘信号,f(t)，,适当选取的值，使乘积信号,f(t)e,-t,当,t,时信号幅度趋近于,0,，从而使,f(t)e,-t,的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f(t)e,-t,=,F,b,(,+j,)=,f(t)e,-t,=,令,s=+j,d=,ds,/j，,有,5.1,拉普拉斯变换,双边拉普拉斯变换对,F,b,(s),称为,f(t),的双边拉氏变换（或象函数），,f(t),称为,F,b,(s),的双边拉氏逆变换（或原函数）。,二、收敛域,只有选择适当的值才能使积分收敛，信号,f(t),的双边拉普拉斯变换存在。,使,f(t),拉氏变换存在的取值范围称为,F,b,(s),的,收敛域。,下面举例说明,F,b,(s),收敛域的问题。,5.1,拉普拉斯变换,例1,因果信号,f,1,(t)=e,t,(t)，,求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于因果信号，仅当,Res=,时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,收敛域,收敛边界,5.1,拉普拉斯变换,例2,反因果信号,f,2,(t)=e,t,(-t)，,求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于反因果信号，仅当,Res=,时，其收敛域为,Res,2,Res=,3,3 ,2,可见，象函数相同，但收敛域不同。,双边拉氏变换必须标出收敛域。,5.1,拉普拉斯变换,通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，,t,，,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。,三、单边拉氏变换,简记为,F(s)=,f(t),f(t)=,-1,F(s),或,f(t)F(s),5.1,拉普拉斯变换,四、常见函数的拉普拉斯变换,1,、,(,t)1，,-,2,、,(,t),或1 1/,s，,0,3,、指数函数,e,-s,0,t,-Res,0,cos,0,t=(e,j,0,t,+,e,-j,0,t,)/2,sin,0,t=(e,j,0,t,e,-j,0,t,)/2j,5.1,拉普拉斯变换,4,、周期信号,f,T,(t),特例,：,T,(t)1/(1 e,-,sT,),5.1,拉普拉斯变换,五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res,0,要讨论其关系，,f(t),必须为因果信号。,根据收敛坐标,0,的值可分为以下三种情况：,（,1,）,0,-2；,则,F(j)=1/(j+2),5.1,拉普拉斯变换,（2,）,0,=0,，,即,F(s),的收敛边界为,j,轴，,如f(t)=(t)F(s)=1/s,=()+1/j,（3,）,0,0，,F(j,),不存在。,例,f(t)=e,2t,(t)F(s)=1/(s 2),2；,其,傅里叶变换不存在。,5.2,拉普拉斯变换性质,5.2,拉普拉斯变换性质,一、线性性质,若,f,1,(t)F,1,(s)Res,1,f,2,(t)F,2,(s)Res,2,则,a,1,f,1,(t)+a,2,f,2,(t)a,1,F,1,(s)+a,2,F,2,(s)Resmax(,1,2,),例,f(t)=,(t)+,(t)1+1/s，,0,二、尺度变换,若,f(t)F(s),Res,0,，,且有实数,a0，,则,f(at),Resa,0,5.2,拉普拉斯变换性质,例：如图信号,f(t),的拉氏变换,F(s)=,求图中信号,y(t),的拉氏变换,Y(s)。,解：,y(t)=4f(0.5t),Y(s)=42 F(2s),5.2,拉普拉斯变换性质,三、时移（延时）特性,若,f(t),F(s),Res,0,且有实常数,t,0,0,则,f(t-t,0,),(t-t,0,)e,-st,0,F(s),Res,0,与尺度变换相结合,f(at-t,0,),(at-t,0,),例1:,求如图信号的单边拉氏变换。,解：,f,1,(t)=,(t),(t-1)，f,2,(t)=,(t+1),(t-1),F,1,(s)=,F,2,(s)=F,1,(s),5.2,拉普拉斯变换性质,例2:,已知,f,1,(t)F,1,(s),求,f,2,(t)F,2,(s),解：,f,2,(t)=f,1,(0.5t)f,1,0.5(t-2),f,1,(0.5t)2F,1,(2s),f,1,0.5(t-2)2F,1,(2s)e,-2s,f,2,(t)2F,1,(2s)(1 e,-2s,),例3:求f(t)=e,-2(t-1),(t)F,(s)=?,5.2,拉普拉斯变换性质,四、复频移（,s,域平移）特性,若,f(t)F(s),Res,0,且有复常数,s,a,=,a,+j,a,则,f(t),e,s,a,t,F(s-,s,a,),Res,0,+,a,例1:,已知因果信号,f(t),的象函数,F(s)=,求,e,-t,f(3t-2),的象函数。,解：,e,-t,f(3t-2),例2:f(t)=cos(2t/4),F(s)=?,解,cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4),5.2,拉普拉斯变换性质,五、时域的微分特性（微分定理）,若,f(t)F(s),Res,0,则,f(t),sF,(s)f(0,-,),f(t)s,2,F(s)sf(0,-,)f(0,-,),f,(n),(t),s,n,F,(s),若,f(t),为因果信号，则,f,(n),(t),s,n,F,(s),例1:,(n),(t)?,例2:,例3:,5.2,拉普拉斯变换性质,六、时域积分特性（积分定理）,若,f(t)F(s),Res,0,则,例1:t,2,(t)?,5.2,拉普拉斯变换性质,例2:,已知因果信号,f(t),如图,求,F(s),解,：对,f(t),求导得,f(t)，,如图,由于,f(t),为因果信号，故,f(0-)=0,f(t)=(t)(t 2)(t 2)F,1,(s),结论：若,f(t),为因果信号，已知,f,(n),(t)F,n,(s),则,f(t)F,n,(s)/,s,n,5.2,拉普拉斯变换性质,七、卷积定理,时域卷积定理,若因果函数,f,1,(t)F,1,(s),Res,1,f,2,(t)F,2,(s),Res,2,则,f,1,(t)*f,2,(t)F,1,(s)F,2,(s),复频域（,s,域）卷积定理,例1：t(t)?,例2,：已知,F(s)=,例3,：,5.2,拉普拉斯变换性质,八、,s,域微分和积分,若,f(t)F(s),Res,0,则,例1：t,2,e,-2t,(t),?,e,-2t,(t),1/(s+2),t,2,e,-2t,(t),5.2,拉普拉斯变换性质,例2,：,例3,：,5.2,拉普拉斯变换性质,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由,F(s),直接求,f(0+),和,f(），,而不必求出原函数,f(t),初值定理,设函数,f(t),不含,(,t),及其各阶导数（即,F(s),为真分式，若,F(s),为假分式化为真分式），,则,终值定理,若,f(t),当,t,时存在，并且,f(t)F(s),Res,0,0,0，,则,5.2,拉普拉斯变换性质,例1,：,例2,：,5.,3,拉普拉斯逆变换,5.3,拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换,-,复变函数积分，比较困难。,通常的方法（,1,）查表,（,2,）利用性质 （,3,）部分分式展开,-,结合,若象函数,F(s),是,s,的有理分式，可写为,若,m,n（,假分式）,可用多项式除法将象函数,F(s),分解为有理多项式,P(s),与有理真分式之和。,5.,3,拉普拉斯逆变换,由于,L,-1,1=,(t)，,L,-1,s,n,=,(n),(t)，,故多项式,P(s),的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。,下面主要讨论有理真分式的情形。,部分分式展开法,若,F(s),是,s,的实系数有理真分式（,mn)，,则可写为,式中,A(s),称为,F(s),的,特征多项式,，方程,A(s)=0,称为,特征方程,，它的根称为,特征根,，也称为,F(s),的,固有频率,（或自然频率）。,n,个特征根,p,i,称为,F(s),的,极点,。,5.,3,拉普拉斯逆变换,（1）,F(s),为单极点（单根）,例1:,5.,3,拉普拉斯逆变换,5.,3,拉普拉斯逆变换,例2:,5.,3,拉普拉斯逆变换,5.,3,拉普拉斯逆变换,特例,：若,F(s),包含共轭复根时,(,p,1,2,=,j),K,2,=K,1,*,f,1,(t)=2|K,1,|e,-,t,cos(,t+,),(t),若写为,K,1,2,=A,jB,f,1,(t)=2e,-,tAcos(,t),Bsin,(,t),(t),5.,3,拉普拉斯逆变换,例3,5.,3,拉普拉斯逆变换,5.,3,拉普拉斯逆变换,例4,：求象函数,F(s),的原函数,f(t)。,解：,A(s)=0,有6,个单根，它们分别是,s,1,=0，s,2,=1，s,3,4,=,j1，s,5,6,=1,j1，,故,K,1,=,sF,(s)|,s=0,=2，K,2,=(s+1)F(s)|,s=-1,=1,K,3,=(s j)F(s)|,s=j,=j/2=(1/2)e,j(,/2),K,4,=K,3,*=(1/2)e,-j(,/2),K,5,=(s+1 j)F(s)|,s=-1+j,=,K,6,=K,5,*,5.,3,拉普拉斯逆变换,（2）,F(s),有重极点（重根）,若,A(s)=0,在,s=p,1,处有,r,重根，,K,11,=(s p,1,),r,F(s)|,s=p1,，K,12,=(d/,ds,)(s p,1,),r,F(s)|,s=p1,5.,3,拉普拉斯逆变换,举例,:,5.,3,拉普拉斯逆变换,5.4,复频域分析,5.4,复频域,系统,分析,一、微分方程的变换解,描述,n,阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为,y(0-),y,(1),(0-),，y,(n-1),(0-)。,思路,：用,拉普拉斯变换微分特性,若,f,(,t,),在,t,=0,时接入系统，则,f,(j),(t)s,j,F,(s),5.4,复频域分析,例1,描述某,LTI,系统的微分方程为,y,(t)+5y,(t)+6y(t)=2,f,(t)+6,f,(t),已知初始状态,y(0-)=1，y,(0-)=-1，,激励,f,(t)=5cost,(t)，,求系统的全响应,y(t),解,：方程取拉氏变换，并整理得,y(t)，,y,x,(t)，,y,f,(t),s,域的代数方程,Y,x,(s),Y,f,(s),5.4,复频域分析,y,(,t,)=2e,2t,(t),e,3t,(t),-,4e,2t,(t),+,y,x,(,t,),y,f,(,t,),暂态分量,y,t,(,t,),稳态分量,y,s,(,t,)
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