第七章 3数量积与向量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数量积与向量积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,结论,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,数量积也称为“,点积,”、“,内积,”.,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律,：,（2）分配律,：,（3）若 为数,若 、为数,：,证明,（,1）、（3）由定义可证,余下证明（2）,仅,就下图,所示的情形给出证明，其它情形可,仿此证明,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,例3,应用向量证明,Cauchy,Schwarz,不等式,证,记,则,例4,应用向量证明直径所对的圆周角是直角,证,如图,所示,x,y,o,A,B,C,圆的,方程：,设,A,点的坐标为,则,例5,设,是三个单位向量,始于同一点,O,且,证明它们终点的连线,构成一等边三角形,证一,A,B,C,O,又,由,同理,故它们终点的连线构成等边三角形,证二,由,得,又,同理,故由余弦定理，有,故它们终点的连线构成等边三角形,实例,二、两向量的向量积,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“,叉积,”、“,外积,”.,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）,分配律：,（3）,若 为数,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,向量积还可借助于三阶行列式表示,由上式可推出,/,例如，,补充,解,解,三角形,ABC,的面积为,解,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,轮换对称性,证明,由,共面,设,由,混合积的几何意义知,得,共面,解,例9,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,例,11,设,是,四个已知向量，其中,不,共面，试利用矢量运算将,表示为,的,线性组合,分析,依题意,其中,x,y,z,待定,为,求得,x,，,须消去,y,z,由,上式可见，若能用一个与,都,垂直的,向量，则,y,z,可同时消去，自然想到,解,设有,以,与,上式两端作点积，得,由于,不,共面,同理,又由,轮换对称性知,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,四、小结,思考题,思考题解答,