矩阵的相似变换和特征值几何与线性代数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回主界面,第五章 矩阵的相似变换和特征值,线性代数与空间解析几何电子教案网络版,说明:由于PowerPoint软件版本差异,在您,的电脑上浏览本电子课件可能有些,内容出现会出现异常.,课件作者：张小向,5.1,方阵的特征值和特征向量,5.2,相似矩阵,5.3,实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,一.特征值,特征向量的定义和计算,1.,设,A,是,n,阶方阵,为数,为,n,维,非零,向量.,若,A,=,则称,为,A,的,特征值,称,为,A,的对应于,的,特征向量,.,2.由,A,=,得齐次线性方程组(,I,A,),=,它有非零解,系数行列式|,I,A,|=0,这个,关于,的一元,n,次方程,称为,A,的,特征方程,|,I,A,|称为,A,的,特征多项式,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例,1,.求,的特征值和特征向量.,解,:,所以,A,的特征值为,1,=2,2,=4.,解之得,A,的对应于,1,=2,的特征向量为,对于,1,=2,(,2,I,A,),x,=,即,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解之得,A,的对应于,2,=4,的特征向量为,对于,2,=4,(4,I,A,),x,=,即,例,1,.求,的特征值和特征向量.,解,:,所以,A,的特征值为,1,=2,2,=4.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解,:|,I,A,|=(,2)(,1),2,.,所以,A,的特征值为,1,=2,2,=,3,=1.,对于,1,=2,求得,(,2,I,A,),x,=,的基础解系:,p,1,=(0,0,1),T,.,对应于,1,=2,的特征向量为,kp,1,(0,k,R,).,对于,2,=,3,=1,求得,(,I,A,),x,=,的基础解系:,p,2,=(,1,2,1),T,.,对应于,2,=,3,=1,的特征向量为,kp,2,(0,k,R,).,例,2,.求,的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解,:|,I,A,|=(,+1,)(,2,),2,.,所以,A,的特征值为,1,=,1,2,=,3,=2.,(,I,A,),x,=,的基础解系:,p,1,=(1,0,1),T,.,对应于,1,=,1,的特征向量为,kp,1,(0,k,R,).,(,2,I,A,),x,=,的基础解系:,p,2,=(0,1,1),T,p,3,=(1,0,4),T,.,对应于,2,=,3,=2,的特征向量为,k,2,p,2,+,k,3,p,3,(,k,2,k,3,不同时为零).,例,3,.求,的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例,4,.设,为方阵,A,的特征值,证明,2,为,A,2,的特征值.,证明,:因为,为,A,的特征值,即有非零向量,x,使,A,x,=,x,于是(,A,2,),x,=,A,(,A,x,),=,A,(,x,),=,(,A,x,)=,2,x,所以,2,为,A,2,的特征值.,例,5,.设,为方阵,A,的特征值,证明,(,)=2,2,3,+4.,为,(,A,)=2,A,2,3,A,+4,I,的特征值.,证明,:因为,为,A,的特征值,即有非零向量,x,使,A,x,=,x,于是,(,A,),x,=(,2,A,2,3,A,+4,I,),x,=2,(,A,2,),x,3,A,x,+4,x,=2,2,x,3,x,+4,x,=(,2,2,3,+4,),x,=,(,),x,所以,f,(,)为,f,(,A,)的特征值.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,二.,特征值,特征向量的,性质,定理,5.1,.设,1,n,(实数或复数,可以重复),是,n,阶方阵,A,=,a,ij,的,n,个,特征值,即,|,I,A,|=(,1,)(,2,)(,n,).,则,i,=tr,A,=,a,ii,n,i,=1,n,i,=1,i,=det,A,=|,A,|,n,i,=1,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,定理,5.2,.设,是方阵,A,的,一个特征值,f,是一个,多项式,则,f,(,),是方阵,f,(,A,)的,一个特,征值.,推论,.若,f,是多项式,A,是,一个,方阵,使,f,(,A,)=,O,(这时称,f,为,A,的一个,零化,多项式,),则,A,的任,一特征值,必满足,f,(,),=0,.,注,:,A,的零化多项式的根未必都是,A,的特征值.,例如,f,(,x,)=,x,2,1,A,1,=,1,0,0,1,A,2,=,1,0,0,1,A,3,=,0,1,1,0,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一.相似矩阵的定义和性质,设,A,B,都是,n,阶方阵,若有可逆矩阵,P,使得,P,1,AP,=,B,则称矩阵,A,与,B,相似,.记为,A,B,.,P,称为,相似变换矩阵,或,过渡矩阵,.,易见,矩阵间的相似关系满足,反身性,:,A,A,;,对称性,:,A,B,B,A,;,传递性,:,A,B,B,C,A,C,.,即矩阵间的相似关系是一种等价关系,.,且,A,与,B,相似,A,与,B,相抵.但反之未必.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,命题,:设,A,B,f,是一个多项式,则,f,(,A,),f,(,B,),.,证明,:设,P,1,AP,=,B,f,(,x,)=,a,n,x,n,+,a,1,x,+,a,0,则,P,1,f,(,A,),P,=,a,n,P,1,A,n,P,+,A1p,1,AP,+,a,0,P,1,IP,=,a,n,(,P,1,A,P,),n,+,a,1,P,1,AP,+,a,0,I,=,P,1,(,a,n,A,n,+,a,1,A,+,a,0,I,),P,=,a,n,B,n,+,a,1,B,+,a,0,I,=,f,(,B,),.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,定理,5.5,.,设,n,阶方阵,A,与,B,相似,则有相同的特,征多项式和特征值.,事实上,设,P,1,AP,=,B,则,|,I,A,|=|,P,1,|,|,I,A,|,P,|=|,I,B,|.,注,:特征多项式相同的矩阵未必相似,.,例如,A,=,1,0,1,1,B,=,1,0,0,1,它们的特征多项式都是(,1),2,.,但是若有,P,1,AP,=,B,则,A,=,PBP,1,=,B,.,矛盾!,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理,5.6,.,n,阶方阵,A,与对角矩阵相似的充要条,件是,A,有,n,个线性无关的特征向量.,证明,:(必要性)设,P,1,AP,=diag,1,2,n,则,AP,=,P,diag,1,2,n,即,P,的列向量依次为,p,1,p,2,p,n,.,A,p,1,p,2,p,n,=,1,p,1,2,p,2,n,p,n,可见,p,1,p,2,p,n,就是,A,的,n,个线性无关,的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,于是,P,1,AP,=diag,1,2,n,p,1,p,2,p,n,对应的特征值依次为,1,2,n,(充分性)设,A,的,n,个线性无关的特征向量依次为,则,A,p,1,p,2,p,n,=,1,p,1,2,p,2,n,p,n,.,记,P,=,p,1,p,2,p,n,则上式可写成,AP,=,P,diag,1,2,n,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理,5.6,.,n,阶方阵,A,与对角矩阵相似的充要条,件是,A,有,n,个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,推论a,.,n,阶复方阵,A,与对角矩阵相似的充要条,件是,A,的每个,n,i,重特征值,i,有,n,i,个线性,无关的特征向量,即秩(,i,I,A,)=,n,n,i,.,推论b,.若,n,阶方阵,A,有,n,个,不同的特征值,则,A,与对角矩阵相似.,三.方阵的相似对角化,对于,n,阶方阵,A,求可逆矩阵,P,使,P,1,AP,为,对角矩阵这件事称为矩阵,A,的,相似对角化,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,求|,I,A,|=0的根,有重根吗?,无,A,可以相似对角化,有,秩(,i,I,A,),=,n,n,i,?,否,Jordan化,A,不能相似对角化,是,求,n,个线性无关的,特征向量,p,1,p,n,令,P,=,p,1,p,n,P,1,AP,=diag,1,n,例,1,2,3,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,例6,.,A,=,3,2,0,0,1,0,的特征多项式为,0,0,1,特征值,=3,i,中有两个是虚数,|,I,A,|=,3,2,0,0,1,0,1,=(,3)(,2,+,1),所以,A,不与实对角矩阵相似.,在复数范围内,A,3,0,0,0,0,i,0,i,0,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,(3,I,A,),x,=,的基础解系:,p,1,=5,3,1,T,(,iI,A,),x,=,的基础解系:,p,2,=0,i,1,T,(,iI,A,),x,=,的基础解系:,p,3,=0,i,1,T,令,P,=,5,3,1,0,i,1,0,i,1,则,P,1,AP,=,3,0,0,0,0,i,0,i,0,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,5.3 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,1.复矩阵的共轭矩阵,设,A,=,a,ij,m,n,a,ij,C.,A,的共轭矩阵.,则称,A,=,a,ij,m,n,为,可以验证,(1),kA,=,k A,;,(2),A,B,=,A,B,;,(3),A,T,=;,(4),AB,=,A B,;,(5)若,A,可逆,则,A,也可逆,且,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,2.实对称矩阵,定理,5.7,.实对称矩阵的特征值均为实数.,从而,另一方面,两式相减得,向量,x,满足,A,x,=,x,则,又因为,x,非零,故,因此,可见,为实数.,事实上,设复数,为对称矩阵,A,的特征值,非零复,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,事实上,1,p,1,T,=(,A,p,1,),T,=,p,1,T,A,T,=,p,1,T,A,定理,5.8,.,设,1,2,是实对称矩阵,A,的两个不同,的特征值,p,1,p,2,是对应与它们的,特,征向量,则,p,1,与,p,2,正交.,于是(,1,2,),p,1,T,p,2,=0,但是,1,2,故,p,1,T,p,2,=0.,从而,1,p,1,T,p,2,=,p,1,T,A,p,2,=,p,1,T,(,2,p,2,)=,2,p,1,T,p,2,.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理,5.9,.,对于任意,n,阶实对称矩阵,A,存在正,交矩阵,Q,使得,Q,1,AQ,=,=diag(,1,2,n,),其中,1,2,n,为,A,的全部特征值,Q,=,q,1,q,2,q,n,的列向量组是,A,的,对应于,1,2,n,的标准正交,特,征向量.,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,推论,.,设,是,n,阶实对称矩阵,A,的,r,重特征值,则,对应于,恰有,r,个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例,7,.,把,正交相似对角化.,解,:|,I,A,|=(,2)(,4),2,.,所以,A,的特征值为,1,=,2,2,=,3,=4.,(,2,I,A,),x,=,的基础解系,1,=(0,1,1),T,.,(,4,I,A,),x,=,的基础解系,2,=(1,0,