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单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,版,修,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,人教版 必修,1,第三章 函数的应用,3.1,函数与方程,3.1.1,方程的根与函数的零点,人教版 必修1第三章 函数的应用3.1函数与方程,目标导航,目标导航,1,方程的根与函数的零点,(1),函数零点的概念,对于函数,y,f,(,x,),，我们把使,f,(,x,),0,的实数,x,叫函数,y,f,(,x,),的零点函数的零点是一个,实数,(2),方程的根与函数零点的关系,求函数,y,f,(,x,),的零点，就是求方程,f,(,x,),0,的实数根方程,f,(,x,),0,有实数根,函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y,f,(,x,),有零点,2,函数零点的判断,如果函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是,连续不断,的一条曲线，并且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，那么，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内有零点，即存在,c,(,a,，,b,),，使得,f,(,c,),0,，这个,c,也就是方程,f,(,x,),0,的根,1方程的根与函数的零点(2)方程的根与函数零点的关系,1,函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？,提示：,函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数,y,x,2,x,1,就没有零点,2,如果函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，在区间,(,a,，,b,),上就没有零点吗？,思考感悟,1函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？思考感悟,提示：,当,f,(,a,),f,(,b,)0,时，在,(,a,，,b,),上就没有零点，当,f,(,a,),f,(,b,)0,时，,(,a,，,b,),上亦可能有零点并且当,f,(,a,),f,(,b,)0,时，,(,a,，,b,),上也不一定只有一个零点，若另有,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上单调，可说明,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上有一个零点,提示：当f(a)f(b)0时，则在(a，b)上一定有零点，,答案：,B,自我检测,答案：B自我检测,2,函数,y,x,2,3,x,1,的零点个数是,(,),A,0 B,1,C,2 D,不确定,答案：,C,3,已知函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上单调，且,f,(,a,),f,(,b,)0,，则函数,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上,(,),A,至少有三个零点,B,可能有两个零点,C,没有零点,D,必有唯一的零点,答案：,D,2函数yx23x1的零点个数是(),4,若函数,f,(,x,),x,2,2,x,a,没有零点，则实数,a,的取值范围是,(,),A,a,1,C,a,1 D,a,1,解析：,函数,f,(,x,),x,2,2,x,a,没有零点，就是方程,x,2,2,x,a,0,没有实数根，故判别式,4,4,a,1.,答案：,B,4若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范,5,已知函数,f,(,x,),为偶函数，其图象与,x,轴有四个交点，则该函数所有零点之和为,_,解析：,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称，,f,(,x,),的零点也关于,y,轴对称，,即零点之和为,0.,答案：,0,5已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函,类型一函数零点的概念及求法,例,1,求函数,y,x,2,2,x,3,的零点，并指出,y,0,，,y,0,时，,x,的取值范围,互动课堂,典例导悟,类型一函数零点的概念及求法互动课堂典例导悟,解,如图,1,所示，解二次方程,x,2,2,x,3,0,，得,x,1,3,，,x,2,1,，,函数,y,x,2,2,x,3,的零点为,3,1.,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,4,，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当,3,x,0,；当,x,1,时，,y,0,时，,x,的取值范围是,(,3,1),；,当,y,0(0时，x的取值范围是(3,1)；,变式体验,1,(1),若函数,f,(,x,),x,2,ax,b,的零点是,2,和,4,，求,a,、,b,的值,(2),若,f,(,x,),ax,b,(,b,0),有一个零点,3,，则函数,g,(,x,),bx,2,3,ax,的零点是,_,变式体验1(1)若函数f(x)x2axb的零点是2和,高中数学人教版必修1+3,类型二函数零点的判断,例,2,判断下列函数在给定区间上是否存在零点,(1),f,(,x,),x,2,3,x,18,，,x,1,8,；,(2),f,(,x,),x,3,x,1,，,x,1,2,；,(3),f,(,x,),log,2,(,x,2),x,，,x,1,3,分析,零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断,类型二函数零点的判断,解,(1),法,1,：,f,(1),200.,f,(1),f,(8)0,，,f,(,x,),在,1,8,内存在零点,法,2,：令,x,2,3,x,18,0,，得,x,6,或,x,3.,又,6,1,8,函数,f,(,x,),在,1,8,内存在零点,(2),f,(,1),10,，,f,(,1),f,(2)0,，,函数,f,(,x,),在,1,2,内存在零点,解(1)法1：f(1)200，f(8)64,高中数学人教版必修1+3,变式体验,2,求函数,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,的零点个数,解：,解法,1,：,f,(0),1,0,2,10,，,f,(,x,),在,(0,2),上必定存在实根，,变式体验2求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个,高中数学人教版必修1+3,又显然,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,在,(,1,，,),上为增函数，故,f,(,x,),有且只有一个实根,解法,2,：在同一坐标系下作出,h,(,x,),2,2,x,和,g,(,x,),lg(,x,1),的叠合图,由图象知,y,lg(,x,1),和,y,2,2,x,有且只有一个交点，,即,f,(,x,),2,x,lg(,x,1),2,有且只有一个零点,又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为,点评：判断函数零点个数的方法主要有：,用计算器或计算机计算并描点作出函数,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一；,由,f,(,x,),g,(,x,),h,(,x,),0,，得,g,(,x,),h,(,x,),，在同一坐标系下作出,y,1,g,(,x,),和,y,2,h,(,x,),的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二,点评：判断函数零点个数的方法主要有：,类型三函数零点的应用,例,3,函数,y,x,2,2,px,1,的零点一个大于,1,，一个小于,1,，求,p,的取值范围,分析,二次函数的零点即函数图象与,x,轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究,类型三函数零点的应用,解,解法,1,：记,f,(,x,),x,2,2,px,1,，则函数,f,(,x,),的图象开口向上，当,f,(,x,),的零点一个大于,1,，一个小于,1,时，即,f,(,x,),与,x,轴的交点一个在,(1,0),的左方，另一个在,(1,0),的右方，,必有,f,(1)0,，即,1,2,2,p,10.,p,1.,p,的取值范围为,(,，,1),解解法1：记f(x)x22px1，则函数f(x),高中数学人教版必修1+3,变式体验,3,已知关于,x,的二次方程,x,2,2,mx,2,m,1,0.,若方程有两根，其中一根在区间,(,1,0),内，另一根在区间,(1,2),内，求,m,的值,分析：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数的性质加以限制，通过解不等式组来解决,变式体验3已知关于x的二次方程x22mx2m10.,高中数学人教版必修1+3,高中数学人教版必修1+3,1,对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：,(1),函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零,(2),函数的零点也就是函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标,思悟升华,1对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：思悟升华,2,对函数零点的判定定理的理解,(1),函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上是一条连续不断的曲线，并且有,f,(,a,),f,(,b,)0,，那么，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程,f,(,x,),0,在,(,a,，,b,),上至少有一个根例如，如图,4(1),所示，,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,x,，有,f,(,1),60,，但,f,(,x,),0,在,(,1,3),内有三个根：,x,1,0,，,x,2,1,，,x,3,2.,2对函数零点的判定定理的理解,高中数学人教版必修1+3,高中数学人教版必修1+3,3,函数零点的求法：,(1),代数法：求方程,f,(,x,),0,的实数根,(2),几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数,y,f,(,x,),的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点,3函数零点的求法：,
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