材料力学基本第十一章-材料力学中的能量方法ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 材料力学中的,能量方法,11.1,基本概念,11.2,互等定理,11.3,虚位移原理、内力虚功,11.4,莫尔方法,11.5,莫尔积分应用直杆时的图乘法,11.6,卡式定理,11.7,结论与讨论,第十一章 材料力学中的能量方法11.1 基本概念,11.1.1,作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功,11.1,基本概念,外力功：,在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功,。,变形能或应变能：,弹性固体因变形将具有作功的本领,，,即能量,。,能量法：,根据能量守恒原理，外力功,w,应等于弹性体的应变能,V,。,11.1.1 作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11,本章主要研究能量法的以下问题：,1.,外力功与杆件应变能的计算；,2.,能量法的卡式定理,；,3.,能量法的单位载荷法与莫尔积分；,4.,能量法的力法求解超静定结构。,本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算,一、外力功的计算,线弹性结构上的外力功的计算。,b),在线弹性范围内，,F,与,成正比,a),一、外力功的计算 线弹性结构上的外力功的计算。b)在线弹性,1,、,F,为一个集中力,，,就是沿,F,作用方向的线位移,1,、轴向拉压杆,需要指出：,F,与,均为广义量,2,、,F,为一个集中力偶，,就是角位移,3,、,F,为,一对等值、反向的集中力或集中力偶,，,就是,相对线位移或相对角位移,11.1.2,、杆件的弹性应变能,轴向变形,轴力在,d,l,上作的功,整根杆的应变能,当,F,N,/,EA,为常量时,1、F为一个集中力，就是沿F作用方向的线位移 1、轴,2,、圆轴扭转,扭转圆轴的应变能,当,T/GI,p,为常量时,3,、对称弯曲梁,对称弯曲梁的应变能,由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。,4,、组合变形杆,2、圆轴扭转 扭转圆轴的应变能 当T/GIp为常量时 3、对,例,11-1,悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及,B,截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。,解：（,1,）梁的应变能,梁任一横截面上的弯矩,（,2,）截面的转角,梁上外力的功为,M,e,x,B,A,l,即得梁的应变能,由,于是,旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。,例11-1 悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。,例,11-2,试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为,EI,，杆的拉压刚度为,EA,。,解,（,1,）,CB,杆的轴力,（,2,）由截面法，得梁的弯矩方程为,得梁的应变能,即得,CB,杆的应变能,所以，整个结构的应变能,C,l,A,B,x,q,a,例11-2 试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI,例,11-3,在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为,EA,，试计算结点的竖直位移,B,V,。,解（,1,）计算外力功,（,2,）计算应变能,由截面法，得,AB,、,CB,两杆的轴力分别为,三角支架上外力的功为,三角支架的应变能,2,1,l,45,F,A,C,B,（,3,）计算,B,V,由,得,例11-3 在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，,11.2,互等定理,11.2.1,、功互等定理,在载荷,F,1,和,F,2,共同作用下，,1,、,2,点处的位移,先加,F,1,，再加,F,2,先加,F,2,，再加,F,1,11.2 互等定理 11.2.1、功互等定理,应变能与加载次序无关,F,1,在,F,2,单独作用下引起的,1,点的位移,12,上所作的功，等于,F,2,在,F,1,单独作用下引起的,2,点处的位移,21,上所作的功，这就是,功互等定理,。,应变能与加载次序无关 F1在F2单独作用下引起的1点的,11.2.2,、位移互等定理,当,F,1,=,F,2,时，有,12,=,21,当,F,1,、,F,2,数值相等时，,F,2,在,1,点引起的沿,F,1,方向的位移,12,，等于,F,1,在,2,点引起的沿,F,2,方向的位移,21,，此为,位移互等定理,。,11.2.2、位移互等定理当F1=F2 时，有 12,例 所示外伸梁，抗弯刚度,EI,为常量。已知在跨度中点,C,处作用集中力,F,时，截面,B,的转角为 ，试求在截面,D,作用力偶,M,D,时，跨度中点,C,的挠度。,解,图,a,为第一载荷系统，图,b,为第二载荷系统,由功互等定理,于是有,例 所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点C处作用集,11.3.1,虚位移原理,（,1,）刚体,虚位移,满足约束条件的假想的任意微小位移。,虚位移原理,作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的,总功等于零（平衡的必要和充分条件）。,11.3,虚位移原理、内力虚功,11.3.1 虚位移原理（1）刚体虚位移 满足约束条,（,2,）可变形固体,满足约束条件和变形连续条件的假想的任意,微小位移。,外力作用下，物体产生变形的同时产生内力,虚位移,虚位移原理,外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即,W,e,（外力虚功）,W,i,（内力虚功）,0,（,8,15,）,（2）可变形固体,1.,梁的虚位移原理,图,a,所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图,b,所示的位移为梁的,虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，,与梁上的荷载及其内力完全无关。,(a),x,实际位移,实际挠曲线,l,x,d,x,y,(b),x,虚位移,虚设挠曲线,l,x,d,x,y,1.梁的虚位移原理 图a所示的位移为由荷,梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为,外力对于虚位移所作的总虚功为,(a),(a),外力虚功,(b),x,虚位移,虚设挠曲线,l,x,d,x,y,(b),内力虚功,取梁的,d,x,微段进行分析。图,c,为微段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。,11.3.2,各种受力形式下的内力虚功,梁上广义力,由于梁的虚位移，使微段位移至图,d,所,示位置。微段的虚位移可分为两部分：,一为刚性体位移,。,暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由,abcd,位置移至 。,（图,d,的实线）,(d),(b),x,虚位移,虚设挠曲线,l,x,d,x,y,由于梁的虚位移，使微段位移至图d 所示位置。微段的虚位移可分,二为变形虚位移,。,由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到 （图,d,的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图,(e),和图,(f),所示。,(d),(b),x,虚位移,虚设挠曲线,l,x,d,x,y,二为变形虚位移。,(b),M,、,对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理,可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。,M,、,对于变形虚位移（图,e,f,），所做的虚功为,(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，,(,b,),式为微段的外力虚功,d,W,e,，设微段的内力虚功为,d,W,i,。由变形固体的虚位移原理,(,3-15,),，,即,(c),梁的内力虚功为,(d),将,(a),(d),式代入,（,3,15,）,式，得梁的,虚位移原理表达式,为,得,即,(8,-,16),(b)式为微段的外力虚功dWe，设微段的内力虚功为dWi。,组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩,M,，剪力,Q,，轴力,N,及扭矩,M,n,。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移,d,d,，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角,d,j,。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为,(8,-,17),2.,组合变形的虚位移原理,由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，所以,(,3-17,),式适用于弹性体和非弹性体问题。式中,F,i,为广义力，,M,F,S,F,N,T,是由荷载产生的内力，为广义虚位移，,d,q,d,l,d,d,为微段的变形虚位移。,组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪,单位力法,(,1,),因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由荷载引起的实际位移,D,，作为虚位移。由荷载引起的微段的变形位移,d,q,d,l,d,d,d,j,作为变形虚位移。即,以实际位移作为虚位移。,(2),若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移,D,，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即,以虚设单位力作为荷载,。由单位力引起的内力记为 。,单位力法 (1)因为由荷载引起的位移，满足约束条件和,（,3,）,单位力所做的外力虚功为,W,e,=,1,D,单位力法的虚位移原理表达式为,(3,-,18),该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。,杆件的内力虚功为,（3）单位力所做的外力虚功为 We=1D单位力法的虚位,(3,-,19),于是,(,3-18,),成为,(3,-,20),式中 为由单位力引起的内力，为荷载引起的内力。为大于,1,的系数，见例,3,20,。,(4),线弹性体,由荷载引起的微段变形位移公式为,(3-19)于是(3-18)成为(3-20)式中,线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为,11.4,、莫尔方法,则,上式为计算线弹性杆件或杆系结构位移的一般公式，又称为,莫尔积分,。,为实际载荷作用于结构时,x,截面上的轴力、扭矩和弯矩。,为单位载荷单独作用于同一结构时,x,截面上的轴力、扭矩和弯矩。,线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为 11.4、莫尔方,1.,平面弯曲变形,各种基本变形的莫尔积分式,2.,轴向拉压变形,3.,扭转变形,1.平面弯曲变形 各种基本变形的莫尔积分式2.轴向拉压变,例 图,11-15a,所示刚架，若两杆抗弯及抗拉,(,压,),刚度分别为,EI,和,EA,，且为常数。试求,A,点的水平位移 。,解 在,A,点加一水平单位力,各段的弯矩方程和轴力方程,BC,段,AB,段,代入莫尔积分式,例 图11-15a所示刚架，若两杆抗弯及抗拉(压)刚度分别,当 时，上式变为,第一项是由于弯曲变形引起的,A,点的位移，第二项是由于轴向变形引起的,A,点的位移。,可见由于轴向变形引起的位移大约是弯曲变形引起位移的,0.3%,。,若两杆均为直径为,d,的圆截面杆，且设,a,=4,d,，则,I,/,A,=,d,2/16,，,A,点的水平位移为,当 时，上式变为 第一项是由于弯,11.5,莫尔积分应用于直杆时的图乘法,在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，,EI,=const,，可以提到积分号外，故只需计算积分,目录,11.5 莫尔积分应用于直杆时的图乘法,直杆的,M,(,x,),图必定是直线或折线。,目录,直杆的M(x)图必定是直线或折线。目录,材料力学基本第十一章-材料力学中的能量方法ppt课件,顶点,二次抛物线的,顶点,目录,顶点二次抛物线的 顶点目录,二、常见图形的面积和形心位置,二、常见图形的面积和形心位置,L,F,F,解,（,1,）求自由端的挠度,例题,试用图乘法求,所,示悬臂梁自由端,B,的挠度和转角。,目录,LFF解（1）求自由端的挠度例题试用图乘法求所示悬臂梁自由端,F,m,=1,(2),求自由端的转角,例题,13-12,目录,Fm=1(2)求自由端的转角例题13-12目录,图示梁的材料为非线性弹性体，,F,i,为广义力，,D,i,为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。,11.6.1,卡氏定理及其证明,（,8,10,）,设各力和相应位移的瞬时值分别为,f,i,d,i,，各力在其相应的,位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为,11.6,卡氏定理,为位移状态函数。,图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，D,假设与第,i,个荷载,F,i,相应的位移,D,i,有一微小位移