定态方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足：,1.5.1,波函数的标准条件,1.,单调性；,2.,有限性；,3.,连续性；,波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在,1,1.,单调性；,2.,有限性；,这是指 应该是 ，,t,的单值函数。因为 是,t,时刻在 处发现粒子的概率密度，即要求 为单值函数，但不要求 是单值函数。,在有限的空间范围内发现粒子的概率有限,3.,连续性；,定态薛定谔方程包含 对坐标的二阶导数，,要求 及其对坐标的一阶导数连续。,1.单调性；2.有限性；这是指 应该,2,1.5.2,一维无限深势阱,设质量为 的粒子在势场中运动,1.5.2 一维无限深势阱设质量为 的粒子在势场中运,3,用波函数标准条件和归一化条件求解上述势,场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：,1.,写出分区的定态薛定谔方程；,2.,引入参数简化方程，得到含待定系数的解；,3.,有波函数标准条件确定参数,k,；,4.,有波函数的归一化条件确定归一化常数,A,；,5.,由参数,k,得粒子的能量,E,；,6.,解的物理意义。,用波函数标准条件和归一化条件求解上述势1.写出分区的定态薛,4,1.,写出分区的定态薛定谔方程；,当势壁无限高是，不可能在势阱外发现能量有限的粒子，故阱外波函数为,0,1.写出分区的定态薛定谔方程；当势壁无限高是，不可能在势阱,5,势阱内定态薛定谔方程为：,2.,引入参数简化方程，得到含待定系数的解；,令,由此得到,0 xa,区间内的解：,势阱内定态薛定谔方程为：2.引入参数简化方程，得到含待定,6,3.,有波函数标准条件确定参数,k,；,由势阱外波函数：,当,n0,的线性相关，舍去,当,k=0;,3.有波函数标准条件确定参数k；由势阱外波函数：当n0,7,4.,有波函数的归一化条件确定归一化常数,A,；,取,A,为实数，则,（,1.5.11,）,4.有波函数的归一化条件确定归一化常数A；取A为实数，则（,8,（,1,）束缚态与离散能级,6.,解的物理意义。,由,可以知道，粒子不可能达到无穷远处,粒子被束缚在有,限的空间区域的,状态称为束缚态,粒子可达到无,限远处的状态,称为非束缚态,一般情况下束缚态的能谱为离散谱,（1）束缚态与离散能级6.解的物理意义。由可以知道，粒子,9,（,2,）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现,在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。,在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。,（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现 在,10,（,3,）激发态的能级,能级分别不均匀。,当量子,n,数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失，并过渡到经典情况。,（3）激发态的能级能级分别不均匀。当量子n数很大时，能级可以,11,（,4,）激发态的能级,（4）激发态的能级,12,（,5,）薛定谔方程的解的线性组合,在一维无限深势阱中粒子可能的态：,定态：,线性叠加态：,粒子处于定态的概率为：,（5）薛定谔方程的解的线性组合在一维无限深势阱中粒子可能的态,13,1.5.3,线性谐振子,经典力学中，粒子,受到弹力,F=-kx,作,用时的势能,量子力学中把在势,场 中运,动的微观粒子称为,线性振子，其势能,曲线为抛物线,（,1,）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点,a,附近的势能曲线。,1.5.3 线性谐振子经典力学中，粒子量子力学中把在势（1,14,讨论谐振子的意义：,（,2,）复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动动；,（,3),处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、粒子表象和电磁场量子化。,（,1,）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点,a,附近的势能曲线。,讨论谐振子的意义：（2）复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动,15,线性谐振子的哈密顿量,线性谐振子的哈密哈密顿算符,故，定态薛定谔方程为,线性谐振子的哈密顿量线性谐振子的哈密哈密顿算符故，定态薛定谔,16,薛定谔方程的解题步骤：,1.,引入参数简化方程,引人,则，定态薛定谔方程可化为,薛定谔方程的解题步骤：1.引入参数简化方程引人则，定态薛定谔,17,(1.5.21),(1.5.21),18,代入,代入,19,（,2,）用幂级数解法求解厄米方程的,代入方程，得,其系数递推公式,（2）用幂级数解法求解厄米方程的代入方程，得其系数递推公式,20,（,3,）波函数的有限性要求级数 中断为多项式。,由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在 时的极限为：,（3）波函数的有限性要求级数,21,级数 相邻两项系数之比在 的极限也为：,当 很大时，的行为与 相同,级数,22,定态方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子课件,23,代入,得线性谐振子的波函数：,归一化常数,代入得线性谐振子的波函数：归一化常数,24,4.,由参数 得粒子能量,E,即从量子力学基本假设（薛定谔）方程出发，导出了普朗克的能量子假设。,振子的能量取离散值,4.由参数 得粒子能量E即从量子力学基本假设（薛定谔）,25,5.,解的物理意义,(1),谐振子的能量取离散值；,(2),谐振子相邻能级的间隔 均匀分布；,(3),谐振子的基态能量 是一个量子效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互作用结果；,5.解的物理意义(1)谐振子的能量取离散值；(2)谐振子,26,（,4,）线性谐振子的能级是无简并的；,（,5,）谐振子波函数的宇称为,由（,1.5.30,）式可得，可见波函数 的奇偶性由,n,决定，通常称谐振子波函数 的宇称为,（4）线性谐振子的能级是无简并的；（5）谐振子波函数的宇称为,27,（,6,）与经典谐振子的比较,经典力学里，粒子在,范围内出现的概率,X=0,速度最小，出现概率最大,（6）与经典谐振子的比较经典力学里，粒子在 X=0速,28,量子谐振子空间位置概率分布特点：,a,、在原点发现粒子的概率要么极大（,n,为偶）,b,、可以在经典禁区发现粒子（势垒穿透效应）。,d,、当量子数,n,越大时，其概率分布与经典概率分布越接近（,b,）图,量子谐振子空间位置概率分布特点：a、在原点发现粒子的概率要么,29,1.5.4,一维束缚定态无简并定理,1.5.4 一维束缚定态无简并定理,30,定态方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子课件,31,再见,再见,32,