-锐角三角函数定义及性质

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,锐角三角函数1,我们已经知道，如图：,直角三角形,ABC,可以简记为,RtABC,，直角,C,所对的边,AB,称为,斜边,，用,c,表示，另两条直角边分别叫,A,的对边与邻边,，用,a,、,b,表示,.,A,的对边,a,脑中有“,图,”，心中有“,式,”,B,A,C,斜边,c,A,的邻边,b,A,的邻边,b,A,C,B,A,的对边,a,斜边,c,学问点1：直角三角形的生疏,1,：对于,A,来说：,2,：对于,B,来说,它们分别是什么？,脑中有“,图,”，心中有“,式,”,问题1 为了绿化荒山，某地预备从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进展喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要预备多长的水管？,这个问题可以归结为，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,30,，,BC,35m,，求,AB,的长,.,A,B,C,思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？,情,境,探,究,依据“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”，即,A,B,C,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,30,，,BC,35m,，求,AB,的长,.,可得 AB=2BC=70m，即需要预备70m长的水管.,在上面的问题中，假设使出水口的高度为50m，那么需要预备多长的水管？,结论：在一个直角三角形中，假设一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .,?,思,考,A,B,C,50m,30m,B”,C”,即在直角三角形中，当一个锐角等于,45,时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于,.,如图，任意画一个,Rt,ABC,，使,C,90,，,A,45,，计算,A,的对边与斜边的比,，你能得出什么结论？,A,B,C,综上可知，在一个,Rt,ABC,中，,C,90,，,一般地，当A 取其他确定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？,结论,问题,当,A,30,时，,A,的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；,当,A,45,时，,A,的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值,.,任意画,Rt,ABC,和,Rt,A,BC,，使得,C,C,90,，,A,A,，那么,=,A,B,C,A1,由于,C,C,90,，,A,A,所以RtABCRtA1B1C1,所以,所以,B1,C1,这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数确定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值,探究,驶向胜利的彼岸,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦sine，记作sinA，即,例如，当,A,30,时，我们有,当,A,45,时，我们有,A,B,C,c,a,b,对边,斜边,在图中,A,的对边记作,a,B,的对边记作,b,C,的对边记作,c,正弦,新知探究:,1.,你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？,2.当锐角A确定时，A的邻边与斜边的比，A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？沟通并说出理由.,方法一：从特殊到一般，仿照正弦的争论过程；,方法二：依据相像三角形的性质来说明.,如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,B,C,斜边,c,对边,a,邻边,b,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的,余弦cosine，记作cosA，即,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的,正切tangent，记作tanA，即,驶向胜利的彼岸,学问点2：锐角三角函数定义,1,、,A,的对边与斜边的比值叫做,A,的正弦，记作,sinA,即,2,、,A,的邻边与斜边的比值叫做,A,的余弦，记作,cosA,即,3,、,A,的对边与邻边的比值叫做,A,的正切，记作,tanA,即,4,、,A,的邻边与对边的比值叫做,A,的余切，记作,cotA,即,锐角,A,的正弦、余弦、正切、余切叫做锐角,A,三角函数,简记：,重要提示：,三角函数,只与角度的大小有关，,与边的长短无关。,锐角三角函数定义,正弦,余弦,正切,余切,:,回顾与思考,1,驶向胜利的彼岸,b,A,B,C,a,c,三角函数的应用,例,1,如以以下图，求出A的四个三角函数。,A,B,C,15,8,解：,AC=,sinA=,COSA=,tanA=,cotA=,提示：直角三角形,任意两边可以求出两锐,角的四个三角函数值。,课本,P90,页例题,跟进训练,求出图中,D,的四个三角函数值,C,D,E,10,6,解：,CE=,sinD=,COSD=,tanD=,cotD=,A,B,C,6,例,1,如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,BC=6,，求,cos,A,和,tan,B,的值,A,B,C,6,练习：,如图，在,Rt,ABC,中，,C,90,，,BC=6,，求,cos,A,和,tan,B,的值,练一练,1.推断对错:,A,10m,6m,B,C,1)如图(1)sinA=,(2)cosB=,(3)sinA=0.6m ,(4)SinB=4/5 ,sinA是一个比值留意比的挨次，无单位；,2)如图，cosB=,2.在RtABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大,100倍，sinA的值 ,A.扩大100倍 B.缩小,C.不变 D.不能确定,C,练一练,3.,如图,A,C,B,3,7,30,0,则,sinA=_cosA=_ .,1,2,例2.ABC中，ACB=90。，BC:AC=3：4，求A的四个三角函数值.,示例：,例,3,如以以下图，在ABC中，AB=AC=13,cosB=,则BC=_。,A,B,C,D,分析：三角函数是在直角三角形中，而题中没有直角三角形，所以，需要作帮助线，将B放入一个直角三角形中。,cosB=,BD=5,BC=,2BD=10,10,如图，在,ABC,中，,AB=CB=5,，,sinA=,，求,ABC,的面积,.,B,A,C,5,5,学问点3：三角函数的性质,1,：取值范围：,A,C,B,0,sinA,1,0,cosA,1,tanA,0,cotA,0,a,b,c,a,c,b,c,且,a,、,b,、,c,都大于,0,2.,互余两角之间的三角函数关系,:,直角三角形两锐角互余,:A+B=90,0,.,则,B=90-A,b,A,B,C,a,c,则,sinA=cosB,或,cosA=sinB.,tanA=cotB,或,cotA=tanB,.,sinA=cos90-A 或cosA=sin 90-A.tanA=cot 90-A或cotA=tan 90-A.,一个角的正弦等于它的余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦；一个角的正切等于它的余角的余切；一个角的余切等于它的余角的正切。,3.,同角之间的三角函数的关系,(1),平方和关系,:,b,A,B,C,a,c,(2),商的关系,:,(3),倒数关系,:,例,3,sinA=，求A的其他三个三角函数值,解：,cosA=,tanA=,cotA=,sinA=a:c,可设a=k,C=3k,由勾股,定理可求出b,然后依据定义,求出其他三个,三角函数值可,跟进训练,拓展训练,可设,_=5k,_12k,又,=1,在,RtABC,中，,ACB=90,，,AB=5 BC=3 CDAB,求,sinBCD,登峰造极,A,C,D,B,补充练习,2.如以以下图，在ABC中，ACB90，AC=12，AB=13，BCM=BAC，求sinBAC和点B到直线MC的距离,3.,如图所示，,CD,是,RtABC,的斜边,AB,上的高，,求证：,