资源描述
,核心知识梳理,典型例题突破,模块五,:,图形的变化,核心知识梳理,黄金分割把一条线段分成两条线段,使较长的线段是原线段与较小的线段,的比例中项,叫做把这条线段黄金分割,.,说明,:,把一条线段黄金分割的点,叫做这条线段的黄金分割点,在线段,AB,上,截取这条线段的 倍得到点,C,则点,C,就是,AB,的黄金分割点,.,三角形相似的判定定理,:,(1),判定定理,1:,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,.,可简单说成,:,两角对应相等,两三角形相似,.,(2),判定定理,2:,如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成,:,两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,.,(3),判定定理,3:,如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简单说成,:,三边对应成比例,两三角形相似,.,以下判定三角形相似的命题是正确的,在解题时,也可以用它们来判定两个三角形的相似,.,第一,:,顶角,(,或底角,),相等的两个等腰三角形相似,.,第二,:,腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似,.,第三,:,有一个锐角相等的两个直角三角形相似,.,第四,:,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似,.,第五,:,如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边,和其中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形相似,.,锐角三角函数,:,在直角三角形,ABC,中,C,是直角,1.,正弦,:,把锐角,A,的对边与斜边的比叫做,A,的正弦,记作,sin A=,2.,余弦,:,把锐角,A,的邻边与斜边的比叫做,A,的余弦,记作,cos,A=,3.,正切,:,把锐角,A,的对边与邻边的比叫做,A,的正切,记作,tan A=,一些特殊角的三角函数值,典型例题突破,【,例,1,】,如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树,BH,和教学楼,CG,的高,先在,A,处用高,1.5,米的测角仪,AF,测得古树顶端,H,的仰角,HFE,为,45,此时教学楼顶端,G,恰好在视线,FH,上,再向前走,10,米到达,B,处,又测得教学楼顶端,G,的仰角,GED,为,60,点,A,B,C,三点在同一水平线上,.,(1),求古树,BH,的高,;,(2),求教学楼,CG,的高,.(,参考数据,:1.4,1.7),【,解析,】,(1),在,RtEFH,中,HEF=90,HFE=45,HE=EF=10,BH=BE+HE=1.5+10=11.5,古树的高为,11.5,米,.,(2),在,RtEDG,中,GED=60,DG=DEtan 60,=DE,设,DE=x,米,则,DG=x,米,在,RtGFD,中,GDF=90,GFD=45,GD=DF=EF+DE,x=10+x,解得,:x=5,+5,CG=DG+DC=x+1.5=(5 +5)+1.5=16.5+5 25.,答,:,教学楼,CG,的高约为,25,米,.,【,例,2,】,如图,ABC,中,A=30,B=45,AC=4,求,AB,的长,.,【,解析,】,过点,C,作,CDAB,于,D,点,在,RtADC,中,A=30,AC=4,CD=AC=,4=2,AD=,在,RtCDB,中,B=45,CD=2,CD=DB=2,AB=AD+DB=2 +2.,【,例,3,】,如图,四边形,ABCD,内接于,O,BD,是,O,的直径,AECD,于点,E,DA,平分,BDE.,(1),求证,:AE,是,O,的切线,;,(2),如果,AB=4,AE=2,求,O,的半径,.,【,解析,】,(1),连接,OA,OA=OD,1=2.,DA,平分,BDE,2=3.,1=3.OADE.,OAE=4,AECD,4=90,.,OAE=90,即,OAAE.,又,点,A,在,O,上,AE,是,O,的切线,.,(2)BD,是,O,的直径,BAD=90,.,5=90,BAD=5.,又,2=3,BADAED.,BA=4,AE=2,BD=2AD.,在,RtBAD,中,根据勾股定理,得,BD=,O,半径为,【,例,4,】,如图,已知,AB,是,O,的直径,AE,平分,BAF,交,O,于点,E,过点,E,作,CDAF,交,AF,的延长线于点,D,交,AB,的延长线于点,C.,(1),试说明,CD,是,O,的切线,;,(2),若,AD=5,O,的半径为,4,求,AE,的长,.,【,解析,】,(1),连接,OE,AE,平分,BAF,OAE=DAE,OE=OA,OAE=OEA,OEA=DAE,OEAD,ADCD,OECD,OE,为,O,的半径,CD,是,O,的切线,.,(2),连接,BE,AB,是,O,的直径,ADCD,BEA=ADE=90,BAE=DAE,AEBADE,AD=5,O,的半径为,4,解得,:AE=2,【,例,5,】,如图,抛物线,y=ax,2,+bx-3(a0),的顶点为,E,该抛物线与,x,轴交于,A,B,两点,与,y,轴交于点,C,且,BO=CO=3AO,直线,y=-x+1,与,y,轴交于点,D.,(1),求抛物线的解析式,;,(2),证明,:DBOEBC;,(3),在抛物线的对称轴上是否存在点,P,使,PBC,是等腰三角形,?,若存在,请直接写,出符合条件的,P,点坐标,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1),抛物线,y=ax,2,+bx-3,c=-3,C(0,-3),OC=3,BO=OC=3AO,BO=3,AO=1,B(3,0),A(-1,0),该抛物线与,x,轴交于,A,B,两点,抛物线解析式为,y=x,2,-2x-3.,(2),由,(1),知,抛物线解析式为,y=x,2,-2x-3=(x-1),2,-4,E(1,-4),B(3,0),A(-1,0),C(0,-3),BC=3 ,BE=2 ,CE=,直线,y=-x+1,与,y,轴交于点,D,D(0,1),B(3,0),OD=1,OB=3,BD=,EBCDBO.,(3),存在,理由,:,设,P(1,m),B(3,0),C(0,-3),PBC,是等腰三角形,当,PB=PC,时,m=-1,P(1,-1),当,PB=BC,时,P(1,),或,P(1,-),当,PC=BC,时,m=-3,P(1,-3+),或,P(1,-3-),符合条件的,P,点坐标为,P(1,-1),或,P(1,),或,P(1,-),或,P(1,-3+),或,P(1,-3-).,【,例,6,】,如图,抛物线,y=x,2,+bx+c,与直线,y=x+3,交于,A,B,两点,交,x,轴于,C,D,两,点,连接,AC,BC,已知,A(0,3),C(-3,0).,(1),求抛物线的解析式,;,(2),在抛物线对称轴,l,上找一点,M,使,|MB-MD|,的值最大,并求出这个最大值,;,(3),点,P,为,y,轴右侧抛物线上一动点,连接,PA,过点,P,作,PQPA,交,y,轴于点,Q,问,:,是否,存在点,P,使得以,A,P,Q,为顶点的三角形与,ABC,相似,?,若存在,请求出所有符合条,件的点,P,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1),将,A(0,3),C(-3,0),代入函数解析式,得,解得,所以抛物线的解析式是,y=x,2,+x+3.,(2),由抛物线的对称性可知,点,D,与点,C,关于对称轴对称,对,l,上任意一点有,MD=MC,联立方程组,解得,(,不符合题意,舍,),B(-4,1),当点,B,C,M,共线时,|MB-MD|,取最大值,即为,BC,的长,过点,B,作,BEx,轴于点,E,在,RtBEC,中,由勾股定理,得,BC=,所以,|MB-MD|,取最大值为,.,(3),存在点,P,使得以,A,P,Q,为顶点的三角形与,ABC,相似,在,RtBEC,中,BE=CE=1,BCE=45,在,RtACO,中,AO=CO=3,ACO=45,ACB=180,-45,-45,=90,过点,P,作,PGy,轴于,G,点,QPA=90,设,P,点坐标为,(x0),当,PAQ=BAC,时,PAQCAB,PGA=ACB=90,PAQ=CAB,PGABCA,解得,x,1,=1,x,2,=0(,舍去,),P,点的纵坐标为,1,2,+,1+3=6,P(1,6),当,PAQ=ABC,时,PAQCBA,PGA=ACB=90,PAQ=ABC,PGAACB,即,=3,=3,解得,x,1,=-(,舍去,),x,2,=0(,舍去,),此时无符合条件的点,P,综上所述,存在点,P(1,6).,【,例,7,】,(2020,济南一模,),如图,在矩形,OABC,中,OA=3,AB=4,反比例函数,y=,(k0),的图像与矩形两边,AB,BC,分别交于点,D,点,E,且,BD=2AD.,(1),求点,D,的坐标和,k,的值,;,(2),求证,:BE=2CE;,(3),若点,P,是线段,OC,上的一个动点,是否存在点,P,使,APE=90,?,若存在,求出此时,点,P,的坐标,;,若不存在,请说明理由,.,【,解析,】,(1)AB=4,BD=2AD,AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,AD=,又,OA=3,D(,3),点,D,在双曲线,y=,上,k=,3=4.,(2),四边形,OABC,为矩形,AB=OC=4,点,E,的横坐标为,4.,把,x=4,代入,y=,中,得,y=1,E(4,1);,B(4,3),C(4,0),BE=2,CE=1,BE=2CE;,(3),假设存在要求的点,P,坐标为,(m,0),OP=m,CP=4-m.,APE=90,APO+EPC=90,又,APO+OAP=90,EPC=OAP,又,AOP=PCE=90,AOPPCE,解得,:m=1,或,m=3,存在要求的点,P,的坐标为,(1,0),或,(3,0).,
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