平面向量的正交分解及坐标表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.2,平面向量的正交分解及坐标表示,平江县第七中学高一数学备课组,复习,平面向量基本定理,:,如果,e,1,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,使,a=,1,e,1,+,2,e,2,(1),我们把不共线向量,e,1,、,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；,(2),基底不唯一，关键是不共线；,(3),由定理可将任一向量,a,在给出基底,e,1,、,e,2,的条件下进行分解；,(4),基底给定时，分解形式唯一,.,1,2,是被,a,e,1,、,e,2,唯一确定的数量。,a=,1,e,1,+,2,e,2,复习,G,=,F,1,+,F,2,F,1,F,2,G,G,=,F,1,+,F,2,叫做重力,G,的分解,类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量,a,，均可以分解为不共线的两个向量,1,a,1,和,2,a,2,使,a,=,1,a,1,+,2,a,2,新课引入,:,G,与,F,1,F,2,有什么关系,?,把一个向量分解为两个互相,垂直,的向量,叫做把向量,正交分解,若两个不共线向量互相垂直时,a,1,a,1,2,a,2,F,1,F,2,G,正交分解,思考：,我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便,。,a,y,O,x,x,i,y,j,j,i,分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底,.,任作一个向量,a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数,x,、,y,使得,a,=,x,i,+,y,j,把,(,x,y,),叫做向量,a,的坐标，记作,a,=(,x,y,),其中,x,叫做,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫做,a,在,y,轴上的坐标,向量的坐标表示,i=,j=,0,=,(1,0),(0,1),(0,0),a,y,O,x,x,i,y,j,j,i,a,=(,x,y,),y,O,x,a,j,i,x,i,y,j,x,i,y,j,b,相等的向量坐标相同,向量,a,、,b,有什么关系,?,a,b,能说出向量,b,的坐标吗,?,b,=,(,x,y,),y,x,A,a,如图，在直角坐标平面内，以原,点,O,为起点作,OA,=,a,，则点,A,的位,置由,a,唯一确定。,y,x,O,j,i,设,OA=,x,i,+y,j,，则向量,OA,的坐标,（,x,y,),就是点,A,的坐标；,a,(,x,y,),因此，,在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示,。,反过来，点,A,的坐标（,x,y,),也就是向量,OA,的坐标。,练习,:,在同一直角坐标系内画出下列向量,.,解：,如图，用基底,i,，,j,分别表示向量,a,、,b,、,c,、,d,并求出它们的坐标,.,A,A,1,A,2,a,b,c,d,解：,同理，,b,=-2,i,+3,j,=(-2,3),c,=-2,i-,3,j,=(-2,-3),d,=2,i,-3,j,=(2,-3),y,x,O,1 2 3 4,-4 -3-2-1,5,4,3,2,1,-1,-2,-3,-4,-5,j,i,1 2 3 4,由图可知,a,=,AA,1,+,AA,2,=2,i,+3,j,a,=,(2,3),例,1.,用基底,i,j,分别表示向量,a,b,c,d,并求出它们的坐标,.,-4 -3 -2 -1 1 2 3 4,A,B,1,2,-2,-1,x,y,4,5,3,随堂,练习,:,坐标是,A,、,(3,2)B,、,(2,3)C,、,(-3,-2)D,、,(-2,-3),B,A,、,x=1,y=3 B,、,x=3,y=1,C,、,x=1,y=-3 D,、,x=5,y=-1,B,标,坐标为,A,、,(x-2,y+1)B,、,(x+2,y-1),C,、,(-2-x,1-y)D,、,(x+2,y+1),C,B,B,标,的坐标为,(i,j),则点,A,的坐标为,A,、,(m-i,n-j)B,、,(i-m,j-n),C,、,(m+i,n+j)D,、,(m+n,i+j),A,小结,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示,