流体力学第八章粘性流体动力学基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第八章 粘性流体动力学根底,本章主要内容：,1.导出粘性流体动力学根本微分方程，即纳维尔,-斯托克斯Navier-Stokes方程,2.,讨论该方程的个别精确解,:,二元平板间粘性流动,体的流动问题。,课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边,速度小,?,8-1 粘性流体的运动微分方程式NS方程,与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上,的力有：质量力、压力，粘性切应力。,取一六面体流体微团,1.,流体微团上受力,:,外表力：法向应力,切向应力,质量力：,y,x,z,dy,dz,dx,y,x,z,dy,dz,dx,下标,1,、,2,：分别为切应力的位置和,切应力的方向,第一个下标：,切应力所处于的坐标面,构成点的应力张量，共有九个分量：,第二个下标：,切应力的方向,九个应力分量中，六个切向应力两两相等,（,8,1,）,（,8,2,）,证明：取单位厚度微团,通过其形心并平行于,轴线的力矩平衡关系如下,:,面力是二阶小量，,质量力是三阶小量,对形心取矩，忽略了质量力引起的力矩：,力矩方程为：,z,y,dy,dx,形心,应力张量中只有六个分量是独立的。,同理可以证明另外两式成立，即,略去高阶小量后得：,（,8,1,）,2.N-S,方程的推导,方向的平衡方程：,x,y,z,dy,dz,dx,稍加整理，消去,dxdydz,得方向的方程式，,这就是应力形式的粘性流体运动微分方程,同理可得方向和方向的方程式,单位质量流体的应力,单位质量流体的惯性力,单位质量流体的质量力,讨论,1.式-中未知函数:三个速度分量和六个,应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，,方程组不封闭。,2.假设要求解，需补充方程。,3.,应力与变形速度之间是否有某种关系？,流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团,的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流,试验得知：,（,-,）,某瞬时一方形微团,ABCD,，经过时间,dt,后变为棱,形,ABCD,，微团的剪切变形速度为,:,牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速度成正比，比例系数为流体的粘性系数,。,剪切变形速度与速度,梯度联系起来了,把牛顿内摩擦定律推广于以下图一般的平面剪切变形就有,也即,（,8,7,）,x,D,A,C,D,C,B,B,d,2,d,1,y,这就建立了切应力与速度之间的关系，即补,充了三个方程。,法向应力与线变形速度之关系,:,对于理想流体，在同一点各方向的法向应力即压力是相等的，即=y=z=,流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流,体微团法线方向有线变形速度，它将使粘性流体中,的法向应力有所改变与理想流体相比，产生附,加法向应力。,将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力,等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得,法向应力的表达式：,(,-,）,可见，在,粘性流体中同一点任意三个互相垂直的,法向应力是不相等的,，它们的总和为：,（,-,）,问题：上式括号内表示什么？,对于不可压缩流体，故有：,(8-10),即对于,粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法,向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。,将切向应力和法向应力关系式代入8-5式得,(8-11),这就是,NS,方程,对于不可压缩流体，上式最后一项为零。,（,8-12,）,方程的矢量形式：,可压缩,（,8-13,）,不可压缩,（,8-14,）,讨论,1.方程8-12的求解：,2.方程8-12为偏微分方程，求解时应给定边,界条件和初始条件。,3.物面上为无滑移条件切向速度为零,与理想流体不同。,三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况下有解析解。,-,二元平板间粘性流体的流动,粘性不可压缩流体里流过间距为的两静止无限大平行平板。,流动状态：,定常层流，无剪切，有,压力差驱动。,讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布,本问题是,N-S,方,程的精确解之一,在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略,去不计，方程和连续方程可简化为：,只要积分上述方程便可求得速度分布,所以,V,V(,),（,8-15,）,流速仅为的函数，与无关，即沿轴,任何一横截面上，速度分布都相同。,代入,(,),得：,将,(,),代入,(,),可得,:,(d),（,8-16,）,所以,压力仅为的函数，与无关，即沿轴的,任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面,上具有不同的压力。,将式代入式，经移项后可得,(e),考虑到8-13和8-14将偏微分改为常微分,式的积分结果为：,（,-,）,积分应用了物面边界条件：,上式左边为的函数，右边为的函数，因此,两边相等的条件为两边均为常数。即,（,8,-,17,）,将上式代入-式可得,（,8,-,20,）,速度分布为抛物线规律，这是层流的,重要特性。,（,8,-,19,）,所以,轴上速度为最大值，即,=0,，,u=u,max,讨论：,3.,最大速度与平均速度的关系如何？,2.,平均速度如何求？,1.,已经求得速度分布，如何求流量？,4.,由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内,层流流动时横界面上最大速度？,5.,实际问题中测得管内最大速度后有何实际义？,6.,由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失,表现为哪个流动参量的下降？,N-S,方程的精确解之二,无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流,不可压连方,动量方程,x,u,y,2h,简化为,积分,动量方程,得,x,u,y,2h,剪切流动,+,压差流动,下板表面切应力,上板表面切应力,+,两板之间的流量，平均速度，能量损失如何,计算？,思考问题,I believe all of you can do it very well.,x,u,y,2h,例,8-1,两平行平板相距,h,10mm,，上板相,对,下板,以,U,1.5,/s,的速度向上运动，垂直距离为,m,的流层两点压力分别为,:,粘性系数和密度分别为,:,试确定：,1速度和切应力分布；,2最大流速；,3上板上的切应力,解：1,速度分布由如下方法求得：,两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速,度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布,为(x轴平行下板向上：,粘性剪切，压差，重力作用下,定常二元,N-S,方程简化为：,连续性方程化简为：,积分得,由,(1),有,所以,两次积分得,积分常数由如下边界条件确定,这是x轴平行平板向下的速度表达式，如果向上，,那么与教材一致。,所以,2由/可得切应力分布:,2,）当 时速度最大，即,解得,所以,上板的切应力0.01,无限长水平圆管定常层流,连续方程,轴对称流动,动量方程,例,8,2,动量方程,再积分得,积分,或,边界条件：速度保持有限,最后得,旋转抛物面分布,与以前的结果相同,