25第三章---曲率解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲 率,前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。,我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度也不尽一样。曲率就是表征弯曲程度的量，它等于单位路程上方向角度切线的倾斜角的转变量,一、弧微分,规定：,单调增函数,如图，,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量。,),),弧段弯曲程度,越大转角越大,转角一样弧段越,短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),),y,x,o,（,设曲线,C,是光滑的，,（,定义,曲线,C,在点,M,处的曲率,2.曲率的计算公式,留意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,例1,解,明显,例2,证,如图,（,（,在缓冲段上,实际要求,三、曲率圆与曲率半径,定义,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,留意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点四周曲线弧(称为曲线在该点四周的二次近似).,曲率圆,y,=,y,(,x,)与曲线,y,=,f,(,x,)的关系,过同一点,有公切线,圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向一样,设圆的方程为,连续求导两次，将上述条件代入得,解得,例3,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,四、小结,运用微分学的理论,争论曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,根本概念:弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述,曲率,;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,思考题,椭圆 上哪些点处曲率最大？,思考题解答,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,