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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 随机变量的数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量的统计特,性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的,某些特征，因而不需要求出它的分布函数,.,评定某企业的经营能力时，只要知道该企业,人均赢利水平,；,例如：,研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的,平均粒数,及每粒的,平均重量,；,检验棉花的质量时，既要注意纤维的,平均长,度,，又要注意,纤维长度与平均长度的偏离程度,，,平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好,;,考察一射手的水平，既要看他的平均环数,是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数,据的波动是否小,.,由上面例子看到，与随机变量有关的某些,数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰,地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些,数字特征在理论和实践上都具有重要意义,.,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,随机变量的平均取值,数学,期望,随机变量取值平均偏离平均值的,情况,方差,描述两个随机变量之间的某种关,系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,5.1,随机变量的数学期望,加 权 平 均,初,赛,复,赛,决,赛,总,成,绩,算术,平均,甲,乙,90 85 53 228 76,88 80 57 225 75,胜者,甲 甲 乙 甲 甲,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例,1,甲乙两学生参加数学竞赛,观察其胜负,引例,2,测量,50,个圆柱形零件直径（见下表）,则这,50,个零件的平均直径为,尺寸（,cm,）,8 9 10 11 12,数量（个）,8 7 15 10,10,50,换一个角度看，从这,50,个零件中任取一个零件，,它的尺寸为随机变量,X,则,X,的概率分布为,X,P,8 9 10 11 12,则这,50,个零件的平均直径为,称之为这,5,个数字的,加权平均,，数学期望的,概念源于此,定义,1,设,X,为离散型随机变量，其概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,的数学期望,记作,E,(,X,),数学期望的定义,定义,2,设,X,为连续型随机变量,其概率密度为,若广义积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量,X,的数学期望,记作,E,(,X,),随机变量的数学期望的本质,加 权 平 均,，,它是一个数不再是随机变量,例,1,X B,(,n,p,),求,E,(,X,),.,解,例,2,X N,(,2,),求,E,(,X,),.,解,常见随机变量的数学期望,分布,期望,分布律,参数为,p,的,0-1,分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),分布,期望,概率密度,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),注意：,不是所有的随机变量都有数学期望,例如：,Cauchy,分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在,设,X,为离散型随机变量，分布律为,Y=g,(,X,),若级数,绝对收敛，则,随机变量函数的数学期望,设,X,为连续型随机变量，概率密度为,f,(,x,),Y=g,(,X,),绝对收敛，则,若广义积分,设,(,X,Y,),为二维离散型随机变量，分布律为,Z=g,(,X,Y,),绝对收敛，则,若级数,设,(,X,Y,),为二维连续型随机变量，,密度函数为,f,(,x,y,),Z=g,(,X,Y,),绝对收敛，则,若广义积分,几个重要的随机变量函数的数学期望,X,的,k,阶原点矩,X,的,k,阶绝对原点矩,X,的,k,阶中心矩,X,的 方差,X,Y,的,k+l,阶混合原点矩,X,Y,的,k+l,阶混合中心矩,X,Y,的 二阶原点矩,X,Y,的二阶混合中心矩,X,Y,的协方差,X,Y,的相关系数,例,4,设二维连续型随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,X,+,Y,),E,(,X Y,),E,(,Y/X,),解,数学期望的性质,数学期望的性质,注意：,X,Y,相互独立,例,5,设,(,X,Y,),N,(0,1;0,1;0),求,的数学期望,.,解,解,(1),设整机寿命为,N,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为,的指数分布，若将它们,(1),串联；,(2),并联,成整机，求整机寿命的均值,.,例,6,即,N E,(5,),(2),设整机寿命为,可见，并联组成整机的平均寿命比串联组,成整机的平均寿命长,11,倍之多,.,例,7,设,X N,(0,1),Y N,(0,1),X,Y,相互独立，求,E,(max(,X,Y,).,解,D,1,D,2,其中,一般地，若,X,Y,相互独立，则,所以,市场上对某种产品每年的需求量为,X,吨，,X U,2000,4000,每出售一吨可赚,3,万元,售不出去，则每吨需仓库保管费,1,万元，问,应该生产这种商品多少吨,才能使平均利润,最大？,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,显然，,2000,y,4000,例,8,显然，,故,y=,3500,时，,E,(,Y,),最大，,E,(,Y,)=8250,万元,例,9,假设由自动线加工的某种零件的内径,X,(mm),N,(,1,).,已知销售每个零件的利润,T,(,元,),与销售零件的内径,X,有如下的关系：,问平均直径,为何值时，销售一个零件的平均,利润最大？,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大,故,时销售一个,E,(,C,)=,C,E,(,aX,)=,a E,(,X,),E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),当,X,Y,相互独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,若存在常数,a,使,P,(,X,a,)=1,则,E,(,X,),a,；,若存在常数,b,使,P,(,X,b,)=1,则,E,(,X,),b.,数学期望的性质,性质,4,的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,),，,X,Y,不一定相互独立,反例,1,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p,j,p,i,注,X Y,P,-1 0 1,但,反例,2,但,设,X,为连续型，概率密度为,f,(,x,),分布函数,为,F,(,x,),则,故,证,性质,5,例,10,将,4,个可区分的球随机地放入,4,个盒子,中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的,数学期望,.,解一,设,X,为空着的盒子数,则,X,的概率分布为,X,P,0 1 2 3,解二,再引入,X,i,i=,1,2,3,4,X,i,P,1 0,为普查某种疾病,n,个人需验血,可采用两种,方法验血：,分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,(2),将,k,个人的血混合在一起化验，若化验结,果为阴性,则此,k,个人的血只需化验一次；,若为阳性,则对,k,个人的血逐个化验，找,出有病者,这时,k,个人的血需化验,k+,1,次,.,设某地区化验呈阳性的概率为,p,，,且每个,人是否为阳性是相互独立的,.,试说明选择哪一,种方法可以减少化验次数,.,验血方案的选择,解,为简单计，设,n,是,k,的倍数，,设共分成,n/k,组,第,i,组需化验的次数为,X,i,X,i,P,1,k+,1,若,则,E,(,X,),n,例如，,作业,:,习题,5.1:2,4,5,6,7(P134,),
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