数学归纳法的应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学归纳法的应用,苍南中学:叶思迁,2005年3月,数学归纳法在恒等式问题、整除问题、几何问题、归纳猜测问题及不等式问题中有着广泛的应用。,例4、用数学归纳法证明：,4,2n+1,+3,n+2,(nN,*,)能被13整除。,证明：1n=1时：4 21+1+31+2=91，能被13整除。,2假设当n=k(kN)时,42k+1+3k+2能被13整除，,当n=k+1时：4,2(k+1)+1,+3,(k+1)+2,=4,(2k+1)+2,+3,(k+2)+1,=16(4,2k+1,+3,k+2,)-133,k+2,(,),4,2k+1,+3,k+2,及133,k+2,均能被13整除,(,)式能被13整除。,4,2(k+1)+1,+3,(k+1)+2,也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。,由1、2可知，对一切nN原命题均成立。,核心步骤,多退少补密诀,例5、用数学归纳法证明：,x,2n,-y,2n,能被x+y整除(n为正整数)。,证明：1n=1时：,x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。,2假设当n=k(kN)时有x2k-y2k能被x+y整除,当,n=k+1,时,由1、2可知，对一切nN，x2n-y2n都能被x+y整除。,=(x2k-y2k)x2+y2k(x2-y2),(x2k-y2k)和(x2-y2)都能被x+y整除，,式也能被x+y整除。即：n=k+1时命题也成立,核心步骤,多退少补密诀,例6、求证：当n取正奇数时，x,n,+y,n,能被x+y整除。,证明：1n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。,2假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,当n=k+,2,时:x,k+2,+y,k+2,=x,k,x,2,+y,k,y,2,=x,k,x,2,+y,k,x,2,-y,k,x,2,+y,k,y,2,=(x,k,+y,k,)x,2,-y,k,(x,2,-y,2,),=(x,k,+y,k,)x,2,-y,k,(x-y)(x+y),以上两项均能被x+y整除，x,k+2,+y,k+2,能被x+y整除，,即当n=k+2时命题仍成立。,由1、2可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。,平面上有 条直线，任意两条不平行，任意三条不共点.,求证：,共有交点 个,构成线段或射线 条,把平面分成 部分.,例7,例8、已知数列a,n,中，a,1,=,其前n项和,S,n,满足：(n,2)，计算S,1,，S,2,，,S,3,，S,4,，猜想S,n,，并证明之。,解：S,1,=a,1,=,S,2,=,S,3,=,S,4,=.,猜想：S,n,=，下证明之。,证明：1）n=1时由前可知，猜想正确。,2）假设当n=k(kN,)时有：S,k,=,当n=k+1时猜测仍正确。,由1、2可知，对一切nN猜测均正确。,例,9,、,当n=k+1时，不等式仍成立。,由1、2可知，对一切nN，原不等式均成立。,练习：,1、求证：n,3,+5n能被6整除。,2、证明凸n边形对角线条数为,f(n)=(n,4)。,3、数列an和bn满足an,bn,an+1成等差数列，,bn,an+1,bn+1成等比数列。a1=1,b1=2,a2=3,求a4,b4,并猜测an,bn,用数学归纳法证明。,（3、）,数学归纳法的应用之二：,1、证明整除问题时注意构造的技巧-多退少补，常用增项减项或拆项的方法；,2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；,3、“归纳、猜测，然后证明其正确性是一种常用的分析问题、解决问题的方法。,4、证明不等式时常用放缩法。,小结,作业：,1、仔细体会、琢磨数学归纳法的运用规律及题型特点。,2、完成?创新作业本?中的相关内容,祝同学们学习愉快,人人成绩优异！,再见！,2004，11，20,哥德巴赫猜测,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜测这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜测上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。这就是著名的哥德巴赫猜测.,返回,