直角三角形的射影定理---ppt课件

*,*,直角三角形的射影定理,直角三角形的射影定理,1.,射影,(1),点在直线上的正射影：从一点向一直线所引,_,的垂足,.,(2),线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的,_,的线段,.,(3),点和线段的,_,，简称为射影,.,垂线,正射影间,正射影,1.射影垂线正射影间正射影,2.,射影定理,(1),直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的,_.,两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的,_.,(2),如图，在,RtABC,中，,ACB=90,，,CDAB,于点,D.,则,CD,2,_,，,BC,2,_,，,AC,2,_.,比例中项,比例中项,ADBD,BDAB,ADAB,2.射影定理比例中项比例中项ADBDBDABADAB,1.,勾股定理能证明射影定理吗？,提示：,能,.AB,2,=(AD+DB),2,=AD,2,+2AD,DB+DB,2,，,AC,2,+BC,2,=AD,2,+CD,2,+CD,2,+DB,2,，,2CD,2,=2AD,DB,，,即,CD,2,=AD,BD.,1.勾股定理能证明射影定理吗？,AC,2,=AB,2,-BC,2,=AD,2,+2AD,DB+DB,2,-CD,2,-DB,2,=AD,2,+AD,DB=AD,AB.,同理,BC,2,=BD,AB.,AC2=AB2-BC2,2.,已知：,CD,是,RtABC,斜边,AB,上的高，,AD,2,，,DB,8,，,则,CD,的长为,_,，,AC,的长为,_,，,BC,的长为,_.,【,解析,】,在,RtABC,中，由射影定理，得,CD,2,AD,DB,28,16,，,CD,4.,AC,2,AD,AB,2(2,8),20,，,AC,.,BC,2,BD,AB,8(2,8),80,，,BC,.,答案：,4,2.已知：CD是RtABC斜边AB上的高，AD2，DB,3.,已知：,CD,是,RtABC,斜边,AB,上的高，,AC,3,，,BC,4,，则,AD,的长为,_,，,BD,的长为,_.,【,解析,】,在,RtABC,中，由勾股定理，得,AB,=5.,由射影定理，得,AC,2,AD,AB,，,AD,同理,BD,答案：,3.已知：CD是RtABC斜边AB上的高，AC3，BC,4.,如图所示，,O,上一点,C,在直径,AB,上的射影为点,D,，,CD,4,，,BD,8,，则,O,的半径,r,等于,_.,【,解析,】,由直角三角形的射影定理，得,CD,2,AD,DB,，,AD,2,，,r,5.,答案：,5,4.如图所示，O上一点C在直径AB上的射影为点D，CD4,5.,已知：,CD,是,RtABC,斜边,AB,上的高，若,ADBD,916,，则,ACBC,_.,【,解析,】,由射影定理，得,AC,2,AD,AB,，,BC,2,BD,AB,，,.,答案：,34,5.已知：CD是RtABC斜边AB上的高，若ADBD9,1.,对点和线段的射影的理解,点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定；线段的射影由线段的两个端点的射影确定；“线段的射影”简记为：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点,.,2.,应用射影定理的两个条件,应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是直角三角形斜边上的高,.,有时需要作出斜边上的高，才能应用射影定理,.,1.对点和线段的射影的理解,3.,射影定理的逆定理及其证明思路,射影定理的逆定理也是成立的,.,证明这个命题，可从以下两方面来考虑：,(1)“,射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；,(2),我们往往将等式,CD,2,ADBD,变形为 这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”,.,3.射影定理的逆定理及其证明思路,应用射影定理解决几何计算问题,应用射影定理的技法,(1),已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在直角三角形中应用射影定理必需的条件,.,(2),遇已知圆有直径时，直径所对圆周角是直角，因此圆中有关计算问题也常常考虑应用射影定理,.,应用射影定理解决几何计算问题,(3),运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常常和直角三角形的其他性质相结合，如勾股定理、三角函数关系、面积公式等,.,(3)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，常常和直角三角,【,典例训练,】,1.,如图，已知,RtABC,的两条直角边,AC,，,BC,的长分别为,3,，,4,，以,AC,为直径的圆与,AB,交于点,D,，则,BD,_.,【典例训练】,2.,如图，在,ABC,中，,AB=m,，,BACABCACB=123,，,CDAB,于点,D.,求,BD,CD,的长,.,2.如图，在ABC中，AB=m，BACABCAC,【,解析,】,1.,连接,CD.,AC,是,O,的直径，,ADC,90.,在,RtABC,中，由勾股定理，得,AB,5.,由射影定理，得,BC,2,BD,AB,，,BD,答案：,【解析】1.连接CD.,2.,设,BAC,的度数为,x,，则由,BACABCACB,123,，得,ABC,的度数为,2x,，,ACB,的度数为,3x.BAC,ABC,ACB,180,，,x,2x,3x,180,，解得,x,30.,ABC,60,，,ACB,90.,AB=m,，,BC=m,，,2.设BAC的度数为x，则由BACABCACB,又,CDAB,，,BC,2,=BD,AB,，,即,(m),2,=BD,m,，,BD=m.,AD=AB-BD=m-m=m.,由,CD,2,=AD,BD=m,m=m,2,，,得,CD=m.,因此，,BD,的长是,m,，,CD,的长是,m.,又CDAB，BC2=BDAB，,【,思考,】,应用射影定理的前提条件是什么？,提示：,应用射影定理的前提条件是存在直角三角形,.,(1),题,1,中连接,CD,，得到,ADC,90,，这样就可以在,RtABC,中应用射影定理了,.,(2),题,2,中根据,ABC,三个角的比，求出最大角是直角，也就确立了,ABC,是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件,.,【思考】应用射影定理的前提条件是什么？,应用射影定理解决相关几何证明,应用射影定理证明几何题的思路,(1),从已知条件入手，当已知存在直角三角形时，可以考虑应用射影定理得到比例中项，再寻求证明结论的过渡条件,.,(2),从证明的结论着眼，当证明的结论是等积式或比例式时，观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的边,.,应用射影定理解决相关几何证明,【,典例训练,】,1.,已知：如图，在,RtABC,中，,ACB,90,，,CDAB,于点,D,，点,E,是,AC,上一点，,CFBE,于点,F.,求证：,BFDBAE.,【典例训练】,2.,在,ABC,中，,BAC=90,，,ADBC,于点,D,，,DFAC,于点,F,，,DEAB,于点,E.,求证：,(1)ABAC=ADBC,；,(2)AD,3,=BCBECF.,2.在ABC中，BAC=90，ADBC于点D，DF,【,证明,】,1.ACB,90,，,CFBE,，,在,RtBCE,中，由射影定理，得,BC,2,BF,BE.,在,RtABC,中，由射影定理，得,BC,2,BD,BA.,BF,BE,BD,BA,，,又,FBD,ABE,，,BFDBAE.,2.(1),方法一：在,RtABC,中，,BAC,90,，,ADBC,，,S,ABC,=AB,AC=AD,BC,，,AB,AC,AD,BC.,【证明】1.ACB90，CFBE，,方法二：在,RtABC,中，,BAC,90,，,ADBC,，,AB,2,BD,BC,，,AC,2,CD,BC,，,AD,2,BD,CD.,AB,2,AC,2,BD,BC,CD,BC,，,即,AB,2,AC,2,BD,CD,BC,2,，,AB,2,AC,2,AD,2,BC,2,，,AB,AC,AD,BC.,(2),在,RtADB,中，,DEAB,，,BD,2,=BE,AB.,同理,CD,2,=CF,AC,，,BD,2,CD,2,=BE,AB,CF,AC.,方法二：在RtABC中，BAC90，ADBC，,又在,RtABC,中，,ADBC,，,AD,2,=BD,CD,，,AD,4,=BD,2,CD,2,=BE,AB,CF,AC,=BE,CF,AB,AC,又由,(1),知,AB,AC=AD,BC,，,AD,4,=BE,CF,AD,BC,，,AD,3,=BC,BE,CF.,又在RtABC中，ADBC，AD2=BDCD，,【,互动探究,】,在第,2,题条件不变的情况下，,求证：,【,解题指南,】,推出,DE,2,=AE,BE,，,DF,2,=AF,FC,后，注意,DE=AF,，,AE=DF,，分析结论并对等积式适当变形,.,【,证明,】,ABAC,，,DFAC,，,DEAB,，,四边形,DEAF,是矩形，,DE=AF,，,AE=DF.,【互动探究】在第2题条件不变的情况下，,由射影定理，得,DE,2,=AE,BE,，,DF,2,=AF,FC,，,DE,2,AF,FC=DF,2,AE,BE,，,DE,2,DE,FC=DF,2,DF,BE,，,即,DE,3,FC=DF,3,BE,，,由射影定理，得DE2=AEBE，DF2=AFFC，,【,想一想,】,第,2,题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的？,提示：,(1),由直角三角形的射影定理可以得到等积式，证明过程中需要根据题目恰当地进行选择,.,(2),同一条边所在的三角形不同，根据射影定理得到的等积式也不相同,.,(3),在解决题,2,时，将得到的等积式进行了相乘、开方,等变形，最终目的是向题目结论过渡,.,【想一想】第2题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的？,