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*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,授课建议,1、根据中学所学的情况，不定积分、定积分的概念与性质、直接积分法，可作简单的复习介绍；,2,、重点介绍第一换元法、第二换元法、定,积分的换元法、分部积分法、有理式的积分、,广义积分；,3,、归纳总结积分方法,.,建议授课时数：约,12,学时,第四章 积分学,授课建议 1、根据中学所学的情况，不定积分、定积分的概,1,我们称一边在坐标轴上，两边垂直于该边，第四边为曲边的四边形（如下图）为曲边梯形.,第一节 定积分的概念与性质,一.,定积分的概念,1.曲边梯形的面积,我们称一边在坐标轴上，两边垂直于该边，第四边为曲边的四边,2,曲边梯形面积的求法：,(1),分割：用,n-1,个分点,把闭区间,分成,n,个小闭区间,每一个小区间的长度为,，,，相应的曲边梯形被分割成 个小曲边梯形.,曲边梯形面积的求法：(1)分割：用n-1个分点把闭区间,3,(2),近似：在每一个小区间上任取一点,，,用,小矩形面积,近似代替第,k,个小曲边梯形面积，,作和式，即得到曲边梯形面积的近似值，,即,(3),取极限：令小区间长度的最大值趋于零（,即,），,取极限，得曲边梯形的面积,(2)近似：在每一个小区间上任取一点 ，用小矩形面积,4,假设,函数,在 在闭区间 上连续，当和式极,在闭区间,上的定积分,(,简称为积分,).,记作,即,其中,称为积分变量，,与 分别称为积分的下限与上限，函数 称为被积函数，区间 称为积分区间，称为积分号.,定义4.1.1,存在,时，则称极限值为函数,限,2.定积分的定义,假设函数在 在闭区间 上连续，当和式,5,例,4.1.1,（阿基米德问题）,.,解,把,n,等分，则,；,取,，那么,；,因此,例4.1.1（阿基米德问题）.解 把,6,定积分,的几何意义为：,由 曲线,，直线,及,x,轴所围成图形的各部分面积的代数和,定积分 的几何意义为：,7,(1),，；,（简单性质）;,(2),（和差性质）;,(3),（,c,为常数）,3.定积分的定义,基本性质,(数乘性质）;,(1)，,8,(4),；（分段性质）,(5),若在区间,上有,，则有,；,（可比性质）,(4),9,例4,.1.,3,比较定积分,的大小,.,解,在区间,1,，,2,上，,，由性质（,5,）知,（,6,）设,M,和,m,分别是,f,(,x,),在,a,b,上的最大值和最小值，则有,（最值性质）,例4.1.3 比较定积分,10,例4,.1.,4,估计,的值,.,解,令,=,，求导得,.,令,，得,.,所以,.,例4.1.4 估计 的值.解 令,11,(7),若,在区间,上连续，那么在区间,上至少存在一点,使,.,（中值性质）,(7)若 在区间 上连续，那么在区间,12,1.原函数与不定积分,定义4.1.2 在开区间,I,内，若可导函数的导函数为,即,，则称函数,为函数,的一个原函数,.,定义4.1.3 函数 为函数,的一个原函数,则称表示式 为 的不定积分记为,.,（,C,为任意的常数）,.,其中称为积分变量，称为被积函数，,称为被积表达式，,C,称为积分常数，“,”称为积分号.,二.牛顿-莱布尼兹公式,即,1.原函数与不定积分定义4.1.2 在开区间I内，若,13,例4.1.5 求,解,，,的一个原函数,.,则,+,C,表示了函数,所有的原函数，,+,C,是,的不定积分,.,即,+C.,例4.1.5 求解 ，,14,注意：,(1),原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系,.,(2),求不定积分,，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数,C,，切记要“,+,C,”，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分,.,(3),可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确,.,(4),若,=,，,=,，则有,.,从而有,即同一个函数的原函数间仅差一个常数,.,注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之,15,2.牛顿-莱布尼兹公式,这就是牛顿莱布尼兹公式，由牛顿与莱布尼兹两位数学家而得名。,注意:计算定积分 ，实际上只要求得一个原函数,，即可转化为求,的函数值的求法问题,.,若 是有限区间 上连续函数 的一个原函数,则有,2.牛顿-莱布尼兹公式这就是牛顿莱布尼兹公式，由牛顿,16,例,4.1.,7,求,(,即阿基米德的面积问题,).,解,，,，,，,它的求法较之前面显然简便多了,.,例4.1.7求 (即阿基米德的面积问,17,例4,.,1,.,8,.,解,，,，,.,今后，求定积分可按程序：求,的一个原函数,，再求值,.,例4.1.8 .解 ,18,
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