非线性振动初步-Read课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,非线性振动初步,第一章,1,第一节 无阻尼单摆的自由振荡,第二节 阻尼振子,第三节 相图方法,第四节 受迫振荡,非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡非线性振动初步,2,第一节 无阻尼单摆的自由振荡,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,第一节 无阻尼单摆的自由振荡,3,由牛顿第二定律：,非线性方程,式中角频率：,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,数学表达式,由牛顿第二定律：1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,4,线性化处理,忽略3次以上的高次项,得线性方程,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,线性化处理数学表达式1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,5,令,代入方程得得特征方程：,特征根：,得通解为：,式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件：,将 写成指数形式后得：,该式是振幅为,P,，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。,角频率只与摆线,l,得长度有关，与摆锤质量无关,，称为固有角频率。,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,令数学表达式1 小角度无阻尼单摆 椭,6,使 得：,一次积分后：,式中,E,为积分常数，由初始条件决定。把,看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。,相图,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,使 得：相图1 小角度,7,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,相图,相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），,系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线,。,能量方程,右边第一项为系统动能,K,，第二项为系统势能,V,，,E,是系统的总能量。运动过程中,K,和,V,两者都随时间变化，而系统总能量,E,保持不变。,当,K,=,V,=,0时，,E,=0,，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。,当,E,0,时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量,E,相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆或椭圆。,同一圆周或椭圆上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量,E,=0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为,椭圆点,。,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点相图 相图即状态图，是法,8,周期与摆角无关？,看看实验结果：,定性结论,：,1.周期随摆角增加而增加,2.随摆角增加波形趋于矩形,单摆周期,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,周期与摆角无关？单摆周期2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,9,对方程,乘以 后积分,其中,积分,设,t,=0,时，周期为,T,，在 时应有 ，故有：,最后得：,单摆周期数学表达式,2,任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,对方程单摆周期数学表达式2 任意角度无阻尼单摆振动,10,在倒立附近，取对铅垂的偏角,f,表示摆角，,代入单摆方程,得方程,利用 得方程,积分得双曲方程：,当,E,0,时有,这是在 处的双曲线的渐近线，,这点称为,双曲奇点,，也称,鞍点,。,相图上这点为的 点。,2,任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点,在倒立附近，取对铅垂的偏角f 表示摆角，2 任意角度无,11,3,无阻尼单摆的相图与势能曲线,基本方程,若取 后积分得,左边第一项是单摆动能,K,，,左边第二项是势能,V,右边积分常数,E,是单摆总能,势能曲线是余弦函数,势能曲线,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线基本方程势能曲线,12,1.,坐标原点 附近,相轨线为近似,椭圆,形的,闭合,轨道；,2.,平衡点 ,为单摆倒置点,（鞍点）,，附近,相轨线,双曲线,；,3.,从 到 或相反的连线为,分界线,在分界线内的轨线是闭合回线,单摆作周期振动。分界线以外,单摆能量,E,超过势能曲线的极,大值，轨道就不再闭合，单摆,作向左或向右方向的旋转运动,单摆完整相图,3,无阻尼单摆的相图与势能曲线,1.坐标原点 附近相轨线为近似椭圆形,13,相图横坐标,是以,2p,为周期的，,摆角 是同一个倒立位置，,把相图上,G点与G点重迭一起,时,，就把相平面卷缩成一个柱,面。所有相轨线都将呈现在柱,面上。因此，平面上的相轨线,是柱面上的相轨线的展开图。,柱面上的单摆相轨线,3,无阻尼单摆的相图与势能曲线,柱面上的单摆相轨线3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,14,第二节 阻尼振子,1 阻尼单摆 不动点,2 无驱杜芬方程,3 非线性阻尼 范德玻耳方程,第二节 阻尼振子,15,1.阻尼单摆 不动点,无阻尼时：,设阻尼力与摆的速度成 正比：,取,得：,如果满足 就有：,数学表达式,1.阻尼单摆 不动点无阻尼时：数学表达式,16,设解为,得特征方程,l,为待定常数，特征方程解：,故有：,通解为,最后有：,小摆角阻尼单摆的解,1.阻尼单摆 不动点,设解为小摆角阻尼单摆的解1.阻尼单摆 不动点,17,对阻尼单摆解,微分,坐标从,变换到,u,v,式中,消去时间,t,阻尼,单摆,轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内旋转的,对数螺旋线簇,。在 平面内也与此类似。,能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“,吸引子,”，它把相空间的点吸引过来，原点又称,不动点,。,相轨线,吸引子,1.阻尼单摆 不动点,对阻尼单摆解,18,1.,整相平面被通过鞍点,G,与,G,的轨线分成三个区域。,2.,在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似;,3.,鞍点的位置仍在处，,任意摆角下的相图,1.阻尼单摆 不动点,运动,从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。,轨线,从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。,相流,所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左(-2,p,)和右(+2,p,)两侧。,1.整相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域。任意摆角下,19,2.,杜芬方程,数学上将含有,三次项的二阶方程称为,Duffing方程,。有,驱动力方程为：,实验中系数 由磁铁的吸力调整。,弱磁吸力时 ，,强磁吸力时 。,例,：弱非线性单摆属Duffing方程：,取：得：,杜芬,方程,2.杜芬方程数学上将含有 三次项的二阶方程称为Duf,20,研究无驱无阻尼杜芬方程：（，）,积分得：,由系统能量 得：,讨论,：由 知：,1.当 时有一个平衡点：,2.当 时有三个平衡点：,3.平衡点 为两个能量最小点,势能曲线,2.,杜芬方程,研究无驱无阻尼杜芬方程：,21,相图,2.,杜芬方程,相图2.杜芬方程,22,从杜芬方程,势能曲线,，画出(）平面上的相轨线。,1.,对于 ，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道;,2.,对于 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。,3.,对于 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中,两条轨线走向原点，另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。,相图,2.,杜芬方程,从杜芬方程势能曲线，画出(）平面上的相轨线。,23,有阻尼,：,1.,所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。,2.,，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。,3.,，原点是鞍点，坐标()处两不动点，是吸引子。整个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。,阻尼方程相图,2.,杜芬方程,有阻尼：阻尼方程相图2.杜芬方程,24,3,非线性阻尼振子 范德玻耳方程,小角度单摆方程,阻尼项系数 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：,阻尼项系数是 与,x,2,有关，,e,为可以任意设定的小数。,它是为描述,LC,回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为,范德玻耳方程,非线性阻尼振子,单摆运动与LC回路,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程小角度单摆方程,25,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法,将范德玻耳方程写为,仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：,两次微分,一起代入方程得：,令方程两边同次谐波项系数相等得：,3,非线性阻尼振子 范德玻耳方程,范德玻耳方程解法谐波线性化方法3 非线性阻尼振子 范德玻耳,26,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法（续）,忽略方程,中的三次谐波项。因为：,就有：,就可将,范德玻耳方程化为,线性化方程：,其解为,3,非线性阻尼振子 范德玻耳方程,范德玻耳方程解法谐波线性化方法（续）3 非线性阻尼振子 范,27,方程解的讨论,线性化方程,范德玻耳方程解,其,衰减系数 与频率,与振幅相关,，由此得：,1.当 ，系统作衰减振动，振动频率 ；,2.当 ，系统作增幅振动，振动频率 ；,3.当 时，系统作等幅振动，振动频率 ；,4.整体上只要初振幅不等于零，振动总是趋向于稳定幅值。,3,非线性阻尼振子 范德玻耳方程,方程解的讨论线性化方程范德玻耳方程解3 非线性阻尼振子 范,28,当 时，系统作增幅振动，初,始相点从内向外趋近于极限环；,当 时，系统作减幅振动，初,始相点从外向内逼近于极限环；,范德玻耳方程相图,方程解 的结论是振动趋于一个定常振幅的周期振荡。在相平面上是一条闭合轨线，称,为,极限环,。,极限环是另一类吸引子，,它将环内与环外的相点吸引到环上。,3,非线性阻尼振子 范德玻耳方程,时的相轨线,当 时，系统作增幅振动，初范德玻耳方程相图,29,1.相轨线,2.平衡点的类型及其稳定性,第三节 相图方法,1.相轨线第三节 相图方法,30,由单摆,基本方程,引进变数,y,：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：,利用第二式可得单摆,相轨线方程,积分得单摆的椭圆轨线方程：,单摆,1 相图方法,由单摆基本方程单摆1 相图方法,31,一个,非线性微分方程,：,引进变数,y,后有,或更一般的形式,得相轨线方程：,一般情况,1 相图方法,一个非线性微分方程：一般情况1 相图方法,32,系统的平衡点从下面推出：,一般的形式平衡点坐标：,系统的平衡点,2,平衡点的类型及其稳定性,系统的平衡点从下面推出：系统的平衡点 2 平,33,对平衡点的邻域进行泰勒展开,引进新变数：,平衡点附近的轨线方程,2,平衡点的类型及其稳定性,得新方程：,式中,研究,平衡点的邻域,的相轨线,，可以忽略高阶项，得线性方程组,对平衡点的邻域进行泰勒展开平衡点附近的轨线方程 2 平衡点的,34,研究,平衡点的邻域,线性方程组,微分,代入,得二阶线性方程：,通过求解这方程得各种,平衡点类型,2,平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,研究平衡点的邻域线性方程组 2 平衡点的类型及其稳定性,35,方程,代入,特征方程,引入符号,特征方程解：,由特征方程得：,参数,l,取值不同,给出不同类型平衡点.,特征方程解的简化：,由于每个变量,X,Y,中包含了两个参数,l,，看不清平衡点的性质，于是进行坐标变换：,在新坐标中有：,其解分别只与一个参数有关：,2,平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,方程 特征方程解的简化：2 平衡点的类型及其稳定性平衡点附,36,平衡点类型,结点,特征根式 的根号中 ，则解 为两个同号实根，其平衡点称为结点,。,结点有稳定与不稳定之分,如果 ，结点为稳定的。,如果 ，结点为不稳定。,2,平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型 结点 2 平衡点的类型及其稳定性,37,鞍点,特征根式,根号中 ，解 为异号实根,。,相轨线为双曲线，奇点为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外流离鞍点的两条是不稳定的。,“鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点，是沿马脊梁的最低点。流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走。,2,平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型,鞍点 2 平衡