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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,几个初等函数的麦克劳林公式,小结 思考题 作业,泰勒(Taylor)(英)1685-1731,近似计算与误差估计,其它应用,第六节 泰勒(,Taylor,)公式,第三章 微分中值定理与导数的应用,泰勒公式的建立,1,几个初等函数的麦克劳林公式小结 思考题 作业 泰勒(T,简单,的,多项式函数,特点,(1)易计算,函数值;,(2)导数与积分仍为,多项式;,(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及,导数值,确定.,而其系数,?,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,?,一、,泰勒公式的建立,熟悉,的函数来近似代替复杂函数.,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒公式,2,简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍,回想微分,一次多项式,泰勒公式,3,回想微分一次多项式泰勒公式3,(如下图),如,以直代曲,泰勒公式,4,(如下图)如 以直代曲泰勒公式4,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,不足,1.精确度不高;,2.误差不能定量的估计.,希望,一次多项式,用适当的,高次多项式,泰勒公式,误差是 的高阶无穷小,问题,(1),系数怎么定?,(2),误差(如何估计)表达式是什么?,5,需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?不足1.精确,猜想,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,1.,n,次多项式系数的确定,泰勒公式,6,猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.,假设,泰勒公式,7,假设泰勒公式7,同理可得,即,泰勒公式,8,同理可得即泰勒公式8,从而,泰勒公式,9,从而泰勒公式9,说明:,有直到n阶导数时,多项式,泰勒公式,有相同的函数值及,直到n阶导数值.,从而,称为,n阶泰勒多项式.,称为,泰勒系数.,10,说明:有直到n阶导数时,多项式泰勒公式有相同的函数值及直到n,公式,称为,n阶泰勒公式.,称为n阶余项,.,注意:,泰勒公式,11,公式称为n阶泰勒公式.称为n阶余项.注意:泰勒公式11,下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.,定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式),设,则,带有皮亚诺,型,余项n阶泰勒公式,泰勒公式,12,下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式.定理1 (带,证明:对于,连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即可证明.,泰勒公式,13,证明:对于连续地用n-1次落必达法则,最后一次用定义即,下面的定理将指明:,可以用它的泰勒多项式逼近,函数,并估计它的误差.,泰勒公式,14,下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近函数并估计它的误差,定理2 (带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式),设,则,泰勒(,Taylor,)中值定理,泰勒公式,15,定理2 (带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式),分析,即证,也即证,其中,泰勒公式,16,分析即证也即证其中泰勒公式16,证,令,由要求,泰勒公式,17,证令由要求泰勒公式17,柯西定理,柯西定理,用1次,用2次,泰勒公式,18,柯西定理 柯西定理用1次用2次泰勒公式18,如此下去,得,用,n+,1次柯西定理,注意到,即,可得,泰勒公式,19,如此下去,得用n+1次柯西定理,注意到即可得泰勒公式19,拉格朗日型余项,带有拉格朗日型余项,泰勒公式,20,拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式20,注意:,Taylor公式为,即为Lagrange中值公式.,则,泰勒公式,21,注意:Taylor公式为即为Lagrange中值公式.则泰勒,泰勒公式,特别,若,则,说明:,随n的增大可任意小,因此可选取适当的n,使近似代替达到,要求的任意精度.,22,泰勒公式特别,若则说明:随n的增大可任意小,因此可选取适当的,皮亚诺,型,余项,1858-1932,),皮亚诺(,Peano,G.,(意),当对余项要求不高时,可用,皮亚诺,型,余项,带有皮亚诺,型,余项,(4)展开式是唯一的,泰勒公式,23,皮亚诺型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意,(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即,按,x,的幂(在零点),展开的泰勒公式称为:,n,阶泰勒公式,麦克劳林,(,Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式,泰勒公式,24,(5)在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开,麦克劳林(,Maclaurin,)公式,近似公式,误差估计式为,带有拉格朗日型余项,带有,皮亚诺,型,余项,泰勒公式,25,麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有拉,解,代入上公式,得,二、几个初等函数的麦克劳林公式,例1,麦克劳林公式.,麦克劳林(,Maclaurin,)公式,于是有,的近似表达公式,泰勒公式,26,解代入上公式,得二、几个初等函数的麦克劳林公式例1麦克劳林公,有误差估计式,得到,其误差,其误差,泰勒公式,27,有误差估计式得到其误差其误差泰勒公式27,解,例2,因为,泰勒公式,所以,28,解例2因为泰勒公式所以28,误差为,泰勒公式,29,误差为泰勒公式29,泰勒公式,泰勒多项式逼近,30,泰勒公式泰勒多项式逼近30,类似地,有,泰勒公式,31,类似地,有泰勒公式31,解,练习,泰勒公式,一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.,的一阶泰勒公式是,其中,三阶泰勒公式是,32,解练习泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一,常用函数的麦克劳林公式,泰勒公式,要熟记!,33,常用函数的麦克劳林公式泰勒公式要熟记!33,泰勒公式,34,泰勒公式34,泰勒公式,35,泰勒公式35,例3,解,用间接展开的方法较简便.,两端同乘,x,得,带拉格朗日型余项的公式展开问题,注,一般不能用这种方法.,泰勒公式,36,例3 解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得,须解决问题的类型:,(1),已知,x,和误差界,要求确定项数,n,;,(2),已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,(3),已知项数,n,和误差界,确定公式中,x,的,三、近似计算与误差估计,适用范围.,泰勒公式,37,须解决问题的类型:(1)已知x 和误差界,要求确定项数n,例4,解,已知,x,和误差界,要求确定项数,n,泰勒公式,38,例4 解 已知x 和误差界,要求确定项数n泰勒公式38,满足要求.,泰勒公式,39,满足要求.泰勒公式39,四、其它应用,常用函数的泰勒展开求,例5,型未定式,泰勒公式,解,因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了.,40,四、其它应用常用函数的泰勒展开求例5 型未定式泰勒公式 解,利用泰勒公式可以证明不等式 (多个点的函数值的关系).,例6,证明:,提示:,泰勒公式,凸函数的定义,41,利用泰勒公式可以证明不等式 (多个点的函数值的关系),例7 设,上的最小值.,求证:,提示:,利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值的关系).,泰勒公式,42,例7 设上的最小值.求证:提示:利用泰勒公式可以,例8.设,求证:,提示:,泰勒公式,43,例8.设求证:提示:泰勒公式43,利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值的关系).,例9,证明:,提示:,泰勒公式,44,利用泰勒公式可以证明不等式 (有关高阶导与函数值的关,五、小结,多项式局部逼近.,了解泰勒(,Taylor,)公式在近似计算中的应用.,泰勒(,Taylor,)公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林公式,;,掌握泰勒(,Taylor,)公式的其他应用.,泰勒公式,45,五、小结 多项式局部逼近.了解泰勒(Taylor)公式在近,解,故由于,有,因,显然,泰勒公式,思考题,46,解故由于有因显然,泰勒公式思考题46,作业,习题3.6(148页),5.6.(5),泰勒公式,补充作业,证明:,提示:,47,作业习题3.6(148页)5.6.(5)泰勒公式补充,
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