概率统计7.2点估计的评价标准

*,Ch7-,*,7.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,应该选用哪一种估计量?,用何标准来评价一个估计量的好坏?,常用,标准,(1),无偏性,(3),一致性,(2)有效性,7.2,若,则称,是,的无偏估计量.,无偏性,无偏,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的,估计值与真值都相等，但可以要求这些估,计值的期望与真值相等.,定义的合理性,是总体,X,的样本,证明:不论,X,服从什么分布,(但期望存在),是,的无偏估计量.,证,例1,设总体,X,的,k,阶矩,存在,因而,由于,例1,则,特别地,样本二阶原点矩,是总体,是总体期望,E,(,X,),的,样本均值,无偏估计量,的无偏,二阶原点矩,估计量,例2,设总体,X,的期望 与方差存在,X,的,样本为,(,n,1).,(1)不是,D,(,X,)的无偏估量;,(2)是,D,(,X,)的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故 证毕,.,例3,设,是总体,X,的一个样本,XB,(,n,p,),n,1,求,p,2,的无偏估计量.,解,由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此,p,2,的无偏估计量为,故,例4,设总体,X,的密度函数为,为常数,为,X,的一个样本,证明,与,都是,的无偏,估计量,证,故,是,的无偏估计量.,例4,令,即,故,n Z,是,的无偏估计量.,都是总体参数,的无偏估计量,且,则称 比 更有效.,定义,设,有效性,有效,所以,比,更有效,.,是,的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例4可知,与 都,为常数,例5,设总体,X,的密度函数为,解,，,例5,例6,设总体,X,，且,E,(,X,)=,D,(,X,)=,2,为总体,X,的一个样本,证明,是,的无偏估计量,(2)证明,比,更有效,证,(1),例6,(1)设常数,(2),而,结论,算术均值比加权均值更有效,.,例如,X,N,(,2,),(,X,1,X,2,)是一样本,.,都是,的,无偏估计量,由,例6(2),知,最有效,.,罗克拉美,（,Rao Cramer,）,不等式,若,是参数,的无偏估计量,则,其中,p,(,x,)是 总体,X,的概率分布或密,度函数，,称 为方差的下界,.,当 时,称 为达到,方差下界的无偏估计量,此时称 为最有效的估计量,简称有效估计量,.,例7,设总体,X,的密度函数为,为,X,的一个样本值,.,求,的,极大似然估计量,并判断它是否达到,方差下界的无偏估计量,.,为常数,解,由似然函数,例7,的极大似然估计量为,它是,的无偏估计量.,而,故 是达到方差下界的无偏估计量,.,定义,设 是总体参数,则称,是总体参数,的一致(或相合)估计量,.,的估计量,.,若对于任意的,当,n,时,一致性,依概率收敛于,即,一致性估计量仅在样本容量,n,足够大时,才显示其优越性,.,一致,关于一致性的两个常用结论,1.,样本,k,阶矩是总体,k,阶矩的一致性估计量,.,是,的一致估计量.,由大数定律证明,用切贝雪夫不,等式证明,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下,极大似然估计具有一致性,2.,设 是,的无偏估计,量,且 ,则,例8,为常数,则 是,的无偏、有效、一致估计量.,证,由例7 知 是,的无偏、有效估计量.,所以 是,的一致估计量,证毕,.,例8,作业 P.231 习题七,16,18 20,习题,补充题,设总体,X N,(,2,),为,X,的一个样本,常数,k,取,何值可使,为,的无偏估计量,第十四周,问 题,母亲嗜酒是否影响下一代的健康,美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组).测定两组儿童的智商，结果如下：,每周一题14,甲 组,6,78,19,乙 组,46,99,16,人数,智商平均数,样本标准差,智商,组别,由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一,代的智力？若有影响，推断其影响程度有,多大?,提示,前一问题属假设检验问题,后一问题属区间估计问题,智商一般受诸多因素的影响.从而可以,本问题实际是检验甲组总体的均值是,否比乙组总体的均值偏小?,若是，这个差异范围有多大?前一问,题属假设检验，后一问题属区间估计.,解,假定两组儿童的智商服从正态分布.,由于两个总体的方差未知，而甲组,的样本容量较小，因此采用大样本下两,总体均值比较的U检验法似乎不妥.故,当 为真时，统计量,采用方差相等(但未知)时，两正态总体,均值比较的t检验法对第一个问题作出,回答.,为此,利用样本先检验两总体方差,是否相等，即检验假设,拒绝域为,未落在拒绝域内，故接受 .即可认为,两总体方差相等.下面用 t 检验法检,验 是否比 显著偏小？即检验假设,当 为真时，检验统计量,其中,嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.,落在拒绝域内，故拒绝 .即认为母亲,下面继续考察这种不良影响的程度.,为此要对两总体均值差进行区间估计.,取,于是置信度为,99%,的置信区间为,由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒,母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒,的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要,低 2.09 到 39.91,.,故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.,注,大家是否注意到，在解决问题时，,两次假设检验所取的显著性水平不同.,前者远,在检验方差相等时，取 ;在,检验均值是否相等时取 .,比后者大.为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关.,小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.,在 较大时,若能接受 ,说明,为真的依据很充足;同样，在 很小时，,我们仍然拒绝 .说明 不真的理由就,更充足.,说明在所给数据下，得出相应的,本例中,对 ,仍得出,可被接受,及对 ,可被拒绝,的结论.,结论有很充足的理由.,另外在区间估计中，取较小的置信,若反之,取较大的置信水平，则可,水平 (即较大的置信度),从而使,得区间估计的范围较大.,减少估计区间的长度，使区间估计精确,提高，但相应地区间估计的可靠度降低,了，即要冒更大的风险.,解,注意到,是,X,1,X,2,X,n,的线性函数,补充题,补充题,设总体,X N,(,2,),为,X,的一个样本,常数,k,取,何值可使,为,的无偏估计量,故,