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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,*,第二章,一阶微分方程的初等解法,11/15/2024,常微分方程,第二章 一阶微分方程的初等解法 10/4/2023常微分方程,1,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,11/15/2024,常微分方程,2.1 变量分离方程与变量变换先看例子：10/4/20,2,定义1,形如,方程,称为,变量分离方程.,11/15/2024,常微分方程,定义1形如方程,称为变量分离方程.10/4/2023常微分方,3,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,11/15/2024,常微分方程,一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.10/4/20,4,例：,分离变量:,两边积分:,11/15/2024,常微分方程,例：分离变量:两边积分:10/4/2023常微分方程,5,注:,例1,求微分方程,的所有解.,解:,积分得:,11/15/2024,常微分方程,注:例1求微分方程的所有解.解:积分得:10/4/2023常,6,故方程的所有解为:,11/15/2024,常微分方程,故方程的所有解为:10/4/2023常微分方程,7,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,例2,求微分方程,的通解.,11/15/2024,常微分方程,解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程的,8,例3,求微分方程,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,11/15/2024,常微分方程,例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数的定义有1,9,即,故方程的通解为,11/15/2024,常微分方程,即故方程的通解为10/4/2023常微分方程,10,例4,解,:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,11/15/2024,常微分方程,例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问题的通解,所以所求,11,11/15/2024,常微分方程,10/4/2023常微分方程,12,二、可化为变量分离方程类型,（,I,）齐次方程,11/15/2024,常微分方程,二、可化为变量分离方程类型（I）齐次方程 10/4/2023,13,(I)形如,方程称为,齐次方程,求解方法:,11/15/2024,常微分方程,(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:10/4/202,14,例4,求解方程,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,11/15/2024,常微分方程,例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得10,15,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,11/15/2024,常微分方程,两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为10/4/202,16,例6,求下面初值问题的解,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,11/15/2024,常微分方程,例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离,17,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,11/15/2024,常微分方程,两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为10/4/20,18,(II)形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,11/15/2024,常微分方程,(II)形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三,19,这就是变量分离方程,11/15/2024,常微分方程,这就是变量分离方程10/4/2023常微分方程,20,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.,11/15/2024,常微分方程,作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)的情形,可化为变量,21,解的步骤:,11/15/2024,常微分方程,解的步骤:10/4/2023常微分方程,22,例7,求微分方程,的通解.,解:,解方程组,11/15/2024,常微分方程,例7求微分方程的通解.解:解方程组10/4/2023常微分方,23,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,11/15/2024,常微分方程,将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为1,24,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,11/15/2024,常微分方程,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如10,25,以及,例8,求微分方程,的通解.,11/15/2024,常微分方程,以及例8求微分方程的通解.10/4/2023常微分方程,26,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,11/15/2024,常微分方程,解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为,27,三、应用举例,例8、,雪球的融化,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,11/15/2024,常微分方程,三、应用举例例8、雪球的融化 解:根据球体的体积和表面积的关,28,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,11/15/2024,常微分方程,分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时,29,作业,P31 1,3,P31 6,9;13,15,18(2),11/15/2024,常微分方程,作业P31 1,3,10/4/2023常微分方程,30,
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