第9章第6节无穷乘积课件

9.1 上极限与下极限,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,9.6 无穷乘积,称为,无穷乘积.,称为,部分乘积.,一.定义,11/15/2024,1,9.6 无穷乘积称为无穷乘积.称为部分乘积.一.定义,9.6 无穷乘积,在第（1）种情况下，称,无穷乘积收敛，,并称极限值p为这个无穷乘积的值，记为,在第（2）、（3）种情况下，称,无穷乘积发散.,11/15/2024,2,9.6 无穷乘积在第（1）种情况下，称无穷乘积收敛，,9.6 无穷乘积,说明：,（1）在第（2）种情况下部分乘积序列,极限值p存在，但p=0，为便于叙述，,也认为这个无穷乘积是发散的.,（2）在一个无穷乘积中，只要有一个因数为0，,部分乘积序列的极限p=0，,所以以后讨论中总是假定,11/15/2024,3,9.6 无穷乘积说明：（1）在第（2）种情况下部分乘,9.6 无穷乘积,例1：,解:,11/15/2024,4,9.6 无穷乘积例1：解:9/22/20234,9.6 无穷乘积,例2：,解：,反复使用倍角公式，有,11/15/2024,5,9.6 无穷乘积例2：解：反复使用倍角公式，有9/2,9.6 无穷乘积,例3：,无穷乘积,与,都发散.,解：,第一个部分乘积极限为0，,第二个部分乘积无极限.,（证毕）,11/15/2024,6,9.6 无穷乘积例3：无穷乘积与都发散.解：第一个部,9.6 无穷乘积,二.无穷乘积的性质,性质1：,11/15/2024,7,9.6 无穷乘积二.无穷乘积的性质性质1：9/22/,9.6 无穷乘积,性质2:（收敛的必要条件）,由性质2可知，例3中的两个无穷乘积都发散.,性质3:,则任意增加有限个非零项或任意删去有限个项，,不改变原有次序，所得无穷乘积仍收敛.,11/15/2024,8,9.6 无穷乘积性质2:（收敛的必要条件）由性质2可,9.6 无穷乘积,根据性质2和性质3，以后讨论总假定,这启发我们利用已经熟悉的,无穷级数,来讨论,无穷乘积,的敛散性，并建立几个基本的判别方法.,定理1：,并且当满足条件时若级数的和为L，,11/15/2024,9,9.6 无穷乘积根据性质2和性质3，以后讨论总假定,9.6 无穷乘积,证明：,再由指数函数和对数函数的连续性知：,推论：,11/15/2024,10,9.6 无穷乘积证明：再由指数函数和对数函数的连续性,9.6 无穷乘积,定理2：,证明：,11/15/2024,11,9.6 无穷乘积定理2：证明：9/22/202311,9.6 无穷乘积,推论：,11/15/2024,12,9.6 无穷乘积推论：9/22/202312,9.6 无穷乘积,定理3：,证明：,11/15/2024,13,9.6 无穷乘积定理3：证明：9/22/202313,9.6 无穷乘积,三.无穷乘积的绝对收敛,利用乘积和级数之间的关系来建立无穷乘积,绝对收敛的概念.,称无穷乘积为,绝对收敛.,绝对收敛,乘积具有可交换性，,非绝对收敛,级数,不具有可交换性。,11/15/2024,14,9.6 无穷乘积三.无穷乘积的绝对收敛利用乘积和级数,9.6 无穷乘积,例4：,解：,例5：,证明：,作业：P49 1（2）（3），2,11/15/2024,15,9.6 无穷乘积例4：解：例5：证明：作业：P49,