一元二次方程的应用(1)

单击此处编辑母版标题样式,*,一元二次方程的应用,本课内容,1.3,学习目标：,1,、能运用一元二次方程解决一些简单,的代数问题,2,、一元二次方程的根的判别式的应用,第一课时,一、建立一元二次方程模型解数与代数问题,例,1,当,x,取什么值时，一元二次多项式,x,2,-,x,-,2,与,一元一次多项式,2,x,-,1,的值相等？,例,2,当,y,取什么值时，一元二次多项式,(,y,-,5,),2,+9,y,2,的值等于,40,？,例,1,当,x,取什么值时，一元二次多项式,x,2,-,x,-,2,与,一元一次多项式,2,x,-,1,的值相等？,x,2,-,x,-,2=2,x,-,1.,解,:,原方程可以写成,x,2,-,3,x,-,1=0.,这里,a,=1,，,b,=,-,3,，,c,=,-,1,，,b,2,-,4,ac,=,(,-,3,),2,-,4,1,(,-,1,),=9+4=13,，,因此,从而,当 或 时,，,x,2,-,x,-,2,与,2,x,-,1,的值相等,一、建立一元二次方程模型解数与代数问题,举,例,例,2,当,y,取什么值时，一元二次多项式,(,y,-,5,),2,+9,y,2,的值等于,40,？,(,y,-,5,),2,+9,y,2,=40,解,:,原方程可以写成,2,y,2,-,2,y,-,3=0.,这里,a,=2,，,b,=,-,2,，,c,=,-,3,，,b,2,-,4,ac,=,(,-,2,),2,-,4,2,(,-,3,),=4+24=28,，,因此,从而,当 或 时,，,(,y,-,5,),2,+,9,y,2,的值等于,40,例,3,当,t,取什么值时，关于,x,的一元二次方程,x,2,+,(,x,+t,),2,=,t,2,+2,t,-,1,，,（,1,）,有两个不相等的实数根？,（,2,）有两个相等的实数根？,（,3,）没有实数根？,一、建立一元二次方程模型解数与代数问题,二、一元二次方程的根的判别式的应用,解,:,原方程可以写成,2,x,2,+2,tx,+,t,2,-,2,t,+1=0.,这里,a,=2,，,b,=2,t,，,c,=t,2,-,2,t,+1,，,b,2,-,4,ac,=,(,2,t,),2,-,4,2,(,t,2,-,2,t,+1,),=4,t,2,-,8,(,t,2,-,2,t,+1,),=4,t,2,-,4,t,2,+16,t,-,8=16,t,-,8.,（,1,）当,b,2,-,4,ac,=16,t,-,80,，,即,t,时，原方程有两,个不相等的实数根；,（,2,）,当,b,2,-,4,ac,=16,t,-,8=0,，即,t,=,时，原方程有两,个相等的实数根；,（,3,）当,b,2,-,4,ac,=16,t,-,80,，即,t,时，原方程没有,实数根,.,小结：,做此类题的方法：,1,、分辨未知数和参数。,2,、判断方程是一元二次方程（,a0,）,还是一元一次方程,(a=0,b 0),。,3,、根据根的情况列式,练习,1.,当,x,取什么值时，一元二次多项式,x,2,-,x,-,6,与一元一次多项式,3,x,-,2,的值相等？,答：,2.,当,t,取什么值，关于,x,的一元二次方程,有两个相等的实数根？,答：,P22,作业,P27 A 1T 2T,B 1T,第二课时,说一说,菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？,菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半,举,例,例,4,一种铁栅栏护窗的正面是高为,120cm,、宽,为,100cm,的矩形，在中间有一个由,4,根铁条组成,的菱形，如图,1-5,所示,.,菱形的水平方向的对角线,比竖直方向的对角线长,20cm,，并且菱形的面积,是护窗正面矩形面积的 ,（,1,）求菱形的两条对角线的长度；,（,2,）求组成菱形的每一根铁条的长度,图,1-5,分析,本题的等量关系是：,菱形的面积,=,.,菱形两对角线乘积的一半,原方程可以写成,x,2,+20,x,-,4800=0,，,解,:,（,1,）,设菱形的竖直方向的对角线长为,x,cm,，则它的水,平方向的对角线长为,(,x,+20,),cm,，根据题意，可,以列出方程,这里,a,=1,，,b,=20,，,c,=,-,4800,，,b,2,-,4,ac,=20,2,-,4,1,(,-,4800,),=400+4,4800=400,(,1+48,),=400,49,，,从而,x,1,=60,，,x,2,=,-,80,（不合题意，舍去）,因此,即菱形的竖直方向的对角线长为,60 cm,，于是它的水平方向的对角线长为,80 cm,解,:,（,2,）,由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因,此菱形的边长为,即组成菱形的每一根铁条的长度为,50 cm.,举,例,例,5,如图,1-6,，一块长和宽分别为,40 cm,，,28 cm,的矩,形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方,形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面,积为,364 cm,2,.,求截去的小正方形的边长,.,图,1-6,分析,本题的等量关系是：,=,.,底面长,宽,364,解,:,（,1,）,设截去的小正方形的边长为,x,cm,，则无盖长方体,盒子的底面边长分别为,(,40,-,2,x,),cm,，,(,28,-,2,x,),cm,，,根据题意，可以列出方程,(,40,-,2,x,)(,28,-,2,x,),=364,从而,x,1,=27,，,x,2,=7,因此,原方程可以写成,x,2,-,34,x,+189=0.,这里,a,=1,，,b,=,-,34,，,c,=189,，,b,2,-,4,ac,=,(,-,34,),2,-,41,189=,(,2,17,),2,-,4,189,=4,(,172,-,189,),=4,(,289,-,189,),=400,，,如果截去的小正方形的边长为,27 cm,，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为,54 cm,，这超过了矩形铁皮的长,40 cm.,因此,x,1,=27,不合题意，应当舍去,答：截去的小正方形的边长为,7 cm,从例,4,和例,5,可以,看,出,，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况,结论,例,4,一种铁栅栏护窗的正面是高为,120cm,、宽为,100cm,的矩形，在中间有一个由,4,根铁条组成的菱形，如图,1-5,所示,.,菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长,20cm,，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的 ,（,1,）求菱形的两条对角线的长度；,（,2,）求组成菱形的每一根铁条的长度,例,5,如图,1-6,，一块长和宽分别为,40cm,，,28cm,的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为,364cm,2,.,求截去的小正方形的边长,.,练习,1.,在,例,5,中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为,540 cm,2,，那么截去的小正方体的边长是多少？,答：边长为,5 cm.,例,5,如图,1-6,，一块长和宽分别为,40 cm,，,28 cm,的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为,364 cm,2,.,求截去的小正方形的边长,.,2.,例,5,和,第,1,题,中无盖长方体盒子的体积分别是多少？哪个体积大？,答：设,例,5,中长方体的体积为,V,1,，,第,1,题,中长方体,的体积为,V,2,，则有,V,1,=2548,(,cm,3,),，,V,2,=2700,(,cm,3,),，,V,1,V,2,.,1.,在例,5,中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为,540cm,2,，那么截去的小正方体的边长是多少？,例,5,如图,1-6,，一块长和宽分别为,40cm,，,28cm,的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为,364cm,2,.,求截去的小正方形的边长,.,作业,P27 A 3T,P30 4T 5T 6T,第三节,一元二次方程的应用,小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，如图,1-7,所示,.,现在已备足可以砌,10 m,长的墙的材料,.,探究,图,1-7,1,、如果砌成的矩形花园为,12.5,平方米，求矩形花园的边长？,2,、如果砌成的矩形花园为,12,平方米，求矩形花园的边长？,3,、如果砌成的矩形花园为,12.55,平方米，求矩形花园的边长？,解：设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为,x m,，则与已有墙面平行的一面墙的长度为,(,10-2,x,),m,.,根据题意，,列出议程,x,(,10,-,2,x,),=12.55,.,2,x,2,-,10,x,+12.55=0.,1,、砌成的矩形花园为,12.5,平方米，求矩形花园的边长？,解：设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为,x m,，则与已有墙面平行的一面墙的长度为,(,10-2,x,),m,.,根据题意，,列出议程,x,(,10,-,2,x,),=12.5,.,3,、砌成的矩形花园为,12.55,平方米，求矩形花园的边长？,举,例,例,6,某校图书馆的藏书在两年内从,5,万册增加到,7.,2,万册，平均每年增长的百分率是多少？,根据题意，得,5,(,x,+1,),2,=7.2,.,解,:,设,平均每年增长的百分率是,x,.,整理，得,x,2,+2,x,-,0.44=0,.,解得，,x,1,=0.2,，,x,2,=,-,2.2,（不合题意，舍去）,答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百,分率为,20,%,.,一水泥生产厂家今年,1,月份生产水泥,50,万吨，为了给北京修建奥运会场馆提供足够水泥，从,2,月份开始增大生产量，到,3,月底，第一季度共生产了水泥,165.5,万吨。求,2,月、三月份的平均增长率？,利息问题与增长率问题相似：,小张将,1000,元人民币按一年定期存入银行，到期后又将本金和利息再按一年定期存入银行，两年后本金和利息共获,1036.324,元，求这种存款的年利率是多少（应扣除,20%,的利息税）？,全解,29,本息和,=,本金,+,本金,利率,期数,练习,1.,经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润,L,(,元,),与产量,x,(,件,),的关系式为,L,=,-,x,2,+2000,x,-,1000,，,0,x,1900.,（,1,）产量是多少件时，可以使总利润达到,99,万元？,答：,1000,件,.,（,2,）总利润可不可能达到,99.1,万元？,答：不可能,.,因为此时方程无实数根,.,2.,某城市现有人口,100,万，,2,年后为,102.01,万,，,求这,个城市的人口的平均年增长率,答：,1%.,小结与复习,建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一,.,一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用,一元二次方程可以写成右端为,0,，而左端是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是,ax,2,+,bc,+,c,=0,(,a,，,b,，,c,是已知数，,a,0,),解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程,.,降低次数的基本方法是因式分解法或直接开平方法,.,为了能这么做，往往要先配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里,.,而这些步骤只需要按一般形式的一元二次方程,ax,2,+,bc,+,c,=0,(,a,0,),来做，求出解,x,的公式，称为一元二次方程的求根公式,运用求根公式就可以解每一个具体的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：,一元二次方程,写成一般形式,ax,2,+,bx,+,c,=0,(,a,0,),解两个一元一次方程,无实数解,是否可以,直接用因式分解法或直接开,平方法,计算,b,2,-,4,ac,b,2,-,4,ac,0,用求根公式：,运用一元二次方程解实际问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便列出方程,.,要注意