专转本高数 第一节 不定积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、根本积分表,三、不定积分的性质,四、小结,1,【例】,1,.【定义】,一、原函数与不定积分的概念,2,【原函数存在定理】：,简言之,：,连续函数一定有原函数,(存在性),.,其证明将在下一章中讨论,【问题】,(,1,)原函数是否唯一？,【例】,（为任意常数）,(2)假设不唯一它们之间有什么联系？,【问题】,满足何种条件的函数有原函数？,3,【关于原函数的说明】,（,1,）若 ，则对于任意常数 ，,（,2,）若 和 都是 的原函数，,那么,（为某个常数）,【证】,由,P,129,定理可知,（为某个常数）,4,任意常数,积分号,被积函数,2,.【不定积分的定义】,被积表达式,积分变量,5,【例,1,】,求,【解】,【解】,【例,2,】,求,6,【例3】设曲线通过点1，2，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,【解】,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点1，2,所求曲线方程为,7,显然，求不定积分得到一积分曲线族,由不定积分的定义，可知,【结论】,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的.,3,.【不定积分的几何意义】,4,.【不定积分与微分的关系】,Flash,动画演示,8,【实例】,【启示】,能否根据求导公式得出积分公式？,【结论】,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、根本积分表,9,【根本积分表】,是常数);,【说明】,、两式合并,10,11,12,【例,4,】,求积分,【解】,根据积分公式2,13,【证】,等式成立.,2此性质可推广到有限多个函数之和的情况,三、不定积分的性质,右端含有积分号，故有任意常数,【注】1即和的积分等于积分的和；,1,.,【,可加性,】,14,(思考：为什么？),【特别注意】,2.,【,数乘性,】,【,注,】,可加性和数乘性统称,线性性质,.,15,【例,5,】,求积分,【解】,性质1逐项积分,16,【例,6,】,求积分,【解】,17,【例,7,】,求积分,【解】,18,又如教材,【例,13,】,【解】,变形化为和式,19,【例,8,】,求积分,【解】,【说明】,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用根本积分公式.,20,又如(1),先三角恒等变换,再逐项积分,先三角恒等变换,再逐项积分,等等,21,【解】,所求曲线方程为,22,根本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,23,【思考题】,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,24,【思考题解答】,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有,第一类间断点,(可去型或跳跃型间断点)的函数都没有原函数.,25,