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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,基本概念,定义,1:,联系自变量、未知函数及,未知函数导数,（或微分）的关系式称为微分方程,.,例,1,：,下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为,常微分方程,.,都是常微分方程,1.,常微分方程,如,如果在一个,微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为,偏微分方程,.,注,:,本课程主要研究常微分方程,.,同时把常微分方程简称为微分方程或方程,.,2.,偏微分方程,如,都是偏微分方程,.,定义,2,：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的,阶,数称为微分方程的阶数,.,是一阶微分方程,；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程,.,二、微分方程的阶,如,:,n,阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程,.,三 线性和非线性,如,1.,如果方程,是非线性微分方程,.,如,2.n,阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,四 微分方程的解,定义,4,例,2,证明,:,1,显式解与隐式解,相应定义,4,所定义的解为方程的一个,显式解,.,隐式解,.,注,:,显式解与隐式解统称为,微分方程的解,.,例如,有显式解,:,和隐式解,:,2,通解与特解,定义,5,如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的,相互独立的,任意常数的,个数,与微分方程的,阶数,相同,则称这样的解为该方程的,通解,.,例如,:,n,阶微分方程通解的一般形式为,注,1:,例,3,证明,:,由于,故,又由于,注,2:,注,3:,类似可定义方程的,隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解,.,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的,通解,.,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的,特解,.,例如,定义,6,3,定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为,定解条件,.,求满足定解条件的求解问题称为,定解问题,.,常见的定解条件是,初始条件,n,阶微分方程的初始条件是指如下的,n,个条件,:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为,初值问题,.,注,1:,n,阶微分方程的初始条件有时也可写为,注,2:,例,4,解,由于,且,解以上方程组得,思考,1,、微分方程的解是否连续？是否可导？,2,、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？,3,、通解是否一定包含了全部解？,4,、所有方程都有通解吗？,五 积分曲线和方向场,1,积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的,积分曲线,.,2,方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为,等斜线,.,所规定的,方向场,.,图1.2,等斜线,积分曲线：图中实线,例：讨论微分方程,等斜线是双曲线：,积分曲线的分布概况如左图,.,拐点所在的曲线,方向场画法：,适当画出若干条等斜线，,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场,.,例,画出方程 所确定的方向场示意图,.,解,方程的等斜线为,画出五条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。,根据方向场即可大致描绘出积分曲线,经过点,(0,1),，,(0,0),，,(0,-1),的三条积分曲线如左图所示。,例,5,例,6,积分曲线,方向场,方向场示意图,积分曲线,例,7,六、微分方程组,定义,：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为,微分方程组,。,Lorenz,方程,Volterra,两种种群竞争模型,(1.18),(1.19),高阶微分方程 的另一种形式（,如果可能,！）,如果把 都理解为未知函数，并作变换,上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组,并可以记为向量形式,其中均为向量函数,分析,：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。,七、驻定与非驻定、动力系统,如果方程组 的右端不含自变量 ，即,则称为,驻定,（,自治,）的，否则就称为,非驻定的,（,非自治,）的。,注：,对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。,把满足恒同性和可加性的映射称为,动力系统,。动力系统分为,连续和离散系统两种类型,，对应有,连续动力系统和离散动力系统,。,注,：记 为单参数 的 的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：,和,八、相空间、奇点和轨线,把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为,相空间,；,积分曲线在相空间中的投影称为,轨线,；,把驻定方程组的解称为微分方程组的,平衡解,（,驻定解、常数解,）或,奇点,（,平衡点,几何定义）；,
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