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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 不定积分,4.1,不定积分的概念与性质,第四章 不定积分 4.1 不定积分的概念与性,1,教学目标,:,1,、理解原函数和不定积分的概念,2,、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式,教学重点：,综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。,教学目标:1、理解原函数和不定积分的概念教学重点：综合运,2,4.1,不定积分的概念,一、,不定积分的概念,二、,不定积分的性质,三、直接积分法,4.1 不定积分的概念一、不定积分的概念,3,早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到,累积计算,的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长度等等 其中某些问题甚至得到了解决 例如，阿基米得,(Archimedes),、开普勒,(Kepler),、卡瓦列里,(Cavaliere),都在具体问题中得到了后来用积分计算得到的相同结果 费马,(Fermat),与巴洛,(Barrow),已初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系 但当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具有普遍意义 直到十七世纪，,牛顿和莱布尼兹,各自独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法,前言,早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累积计算的重要性,4,例,一、不定积分的概念,定义,4.1,P99,例一、不定积分的概念定义4.1P99,5,问题：,(1),在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，是否唯一？,(2),在已知某函数的原函数存在，怎样将这个原函数求出来。,问题：(1)在什么条件下，一个函数的原函数存在？如果存在，,6,定理,4.1,（原函数存在定理）,即连续函数一定有原函数！,初等函数在其定义区间内一定有原函数。,P99,定理4.1（原函数存在定理）即连续函数一定有原函数！初等函数,7,定理,4.2,例,P99,定理4.2例P99,8,任意常数,积分号,被积函数,(,不定积分的定义,),被积表达式,积分变量,定义,4.2,P100,任意常数积分号被积函数(不定积分的定义)被积表达式积分变量,9,例,1,因为,sin,x,是,cos,x,的原函数,所以,如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数,则,例1 因为sin x 是cos x 的原函,10,如果,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数,则,例,2,如果F(x)是f(x)的一个原函数,则例2,11,不定积分的几何意义,：.,函数,f,(,x,),的不定积分 表示,f,(,x,),的一簇积分曲线，而,f,(,x,),正是积分曲线的斜率,.,P100,不定积分的几何意义,2,x,的,积分曲线,通常把函数,f,(,x,),的原函数,y=,F,(,x,),的图形叫做,f,(,x,),的,一条积分曲线,。那么,f,(,x,),的所有积分曲线构成的曲线族,y=F(x)+C,称为,f,(,x,),的,积分曲线族,.,不定积分的几何意义：.函数f(x)的不定积分,12,设通过点(,1,3),且,其切线斜率为,2X,的曲线方程,.,练习,P103.2,例,3,设通过点(1,3),且其切线斜率为 2X的曲线方程.练,13,P103-2,P103-2,14,4.,1.2,不定积分的性质,一、不定积分的性质,二、基本积分公式,4.1.2 不定积分的性质一、不定积分的性质,15,由不定积分的定义，可知,，,或,，,或,性质,4.1,：,P101,一、不定积分的性质,性质,4.2,：,由不定积分的定义，可知 ，或 ，或 性质4.1：P10,16,性质,4.3,性质,4.4,性质4.3性质4.4,17,4.1.3,直接积分法,P101,4.1.3 直接积分法P101,18,例5,例4,例6,例5 例4,19,堂上练习,:,堂上练习:,20,堂上练习,:,P102,例,5,堂上练习:P102例5,21,P102,例,6,P102例6,22,P102-,例,7,P102-例7,23,P102-,例,8,tan,x,x,C,.,P102-例8tan xxC.,24,P102-,例,9,P102-例9,25,补充,例,补充例,26,
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