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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,高等数学,习题课,2,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第十章,重积分的 计算 及应用,习题课2一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧,一、重积分计算的基本方法,3,1.,选择合适的坐标系,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离,.,2.,选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙,.,图示法,列不等式法,3.,掌握确定积分限的方法,累次积分法,一、重积分计算的基本方法31.选择合适的坐标系被积函数用此,二、重积分计算的基本技巧,4,分块积分法,利用对称性,1.,交换积分顺序的方法,2.,利用对称性或质心公式简化计算,3.,消去被积函数绝对值符号,4.,利用重积分换元公式,二、重积分计算的基本技巧4分块积分法利用对称性1.交换积分,5,5,、二重积分的计算,区域的特点：,穿过区域且,平行于,y,轴,的直线与区域,（）直角坐标系下,区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴,的直线与区域,边界相交不多于两个交点,.,边界相交不多于两个交点,.,55、二重积分的计算区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直,6,（）极坐标系下,6（）极坐标系下,7,两个方面。,1,若 关于 轴对称，,时，,当 时，,运用对称性时，,当,则有,必须兼顾,被积函数与积分区域,两个方面的对称性要相匹配，才能利用,对,7两个方面。1若 关于 轴对称，时，当,8,7,、二重积分的应用,(1),体积,设,S,曲面的方程为：,曲面,S,的面积为,(2),曲面面积,87、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S,例,1.,9,计算积分,其中,D,由,所围成,.,提示,:,如图所示,连续,所以,例1.9计算积分其中D 由所围成.提示:如图所示连续,所,例,2.,10,计算,其中,解,:,对于含有绝对值的函数,通常分区域积分,原式,=,利用极坐标,例2.10计算其中解:对于含有绝对值的函数,通常分,例,3,设,11,上连续，试证明,证明,例3 设 11上连续，试证明证明,例,4.,计算二重积分,12,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,例4.计算二重积分12其中:(1)D为圆域(2)D,(2),积分域如图,:,13,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,例,4.,计算二重积分,其中,:,(2),D,由直线,围成,.,(2)积分域如图:13将D 分为添加辅助线利用对称性,特别：,14,轮换对称：,若,D,关于直线,对称，则,.,例如计算：,特别：14轮换对称：若D关于直线对称，则.例如计算：,例,5.,计算二重积分,15,在第一象限部分,.,解,:,(1),两部分,则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,例5.计算二重积分15在第一象限部分.解:(1)两部,(2),提示,:,16,两部分,说明,:,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,.,作辅助线,将,D,分成,在第一象限部分,.,其中,D,为圆域,(2)提示:16两部分 说明:若不用对称性,需分块积,17,例,6,解：,用极坐标计算。,对称。,如图,D,是关于直线,17例6解：用极坐标计算。对称。如图D是关于直线,例,7.,计算积分,18,解,:,原式,例7.计算积分18解:原式,例,8,.,19,证明,证,:,左端,=,右端,例8.19证明证:左端=右端,20,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),微元线密度,记作,9,、三重积分的计算,20方法1.投影法(“先一后二”)微元线密度记作,21,方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),为底,d,z,为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,记作,21方法2.截面法(“先二后一”)为底,d z 为高,22,(,),柱面坐标,(,),球面坐标,22()柱面坐标()球面坐标,轮换对称：,23,例如计算：,设,轮换对称：23例如计算：设,例,1,：,24,计算,解,由轮换对称有,设,例1：24计算解 由轮换对称有设,25,例,2,解,被积函数仅为,z,的函数，,截面,为圆域：,故采用“先二后一”的方法。,25例2 解被积函数仅为z的函数，截面为圆域：故采用“先二后,26,例,3.,计算,其中,是曲线,绕,轴旋转一周而成的曲面,面,所围的立体。,解：,绕,轴旋转得,由,旋转面方程为,所围成的立体如图,.,与两平,26例3.计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面面所围的立体。,27,解,.,用“先二后一”计算,例,3.,计算,其中,是曲线,绕,轴旋转一周而成的曲面,面,所围的立体。,与两平,旋转面方程为,27解.用“先二后一”计算例3.计算其中是曲线绕轴旋转,28,所围成立体的投影区域如图，,解法,2,.,(,用柱坐标计算,),旋转面方程为,28所围成立体的投影区域如图，解法2.(用柱坐标计算)旋,29,旋转面方程为,29旋转面方程为,三、重积分的应用,30,1.,几何方面,面积,(,平面域或曲面域,),体积,形心,质量,转动惯量,质心,引力,证明某些结论等,2.,物理方面,3.,其它方面,三、重积分的应用301.几何方面面积(平面域或曲面域,例,1,.,计算二重积分,31,解,:,其中,利用对称性,分区域,D,为,(,如图,),则,用形心公式,例1.计算二重积分31解:其中利用对称性分区域 D 为(如,例,2,32,设积分域,D,是以原点为中心,半径为,r,的,圆域,则,解,:,由积分中值定理可知,使,存在,于是,原式,=,例232设积分域 D 是以原点为中心,半径为 r 的圆域,例,3.,33,解,:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,例3.33解:在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中,
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