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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,经济数学根底,第三章 线性方程组,线性方程组的解的断定和求法,本章难点：,解的断定定理,本章重点：,一、线性方程组的有关概念,1、n元线性方程组为：,4元线性方程组,2、方程组的系数矩阵A为：,“增广矩阵,对 做初等,行变换，同,时也是对A,做变换。,3、方程组的矩阵方式：,系数矩阵A,未知量矩阵X,常数矩阵B,【例1】写出以下线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵方式,解：,系数矩阵是,增广矩阵,方程组的矩阵方式是AXB，即,由线性方程组可独一确定增广矩阵；反之,由增广矩阵，也可以独一确定线性方程组。,【例2】知方程组的增广矩阵如下，试写出,它的线性方程组,【解】：,“常数项,一一对应,“增广矩阵,“线性方程组,【例3】知方程组的增广矩阵如下，试写出,它的线性方程组,解：,“常数项,称为：非齐次线性方程组。,、无穷多解或无解。,定义：“行简化阶梯形矩阵,2实践上通知我们要经过,【例3】当a,b为何值时,以下方程组有独一解,对增广矩阵进展初等行变换，将其化,一、线性方程组的有关概念,那么其他的为自在未知量：,1)AX=0有非零解(无穷多解),那么其他的为自在未知量：,3)AX=b无解,(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；,1、n元线性方程组为：,问：取何值时方程组有非零解，并求一,2实践上通知我们要经过,4、齐次线性方程组：AX=0,假设常数项,不全为0，那么,称为：非齐次线性方程组。,5、方程组的解：,方程组的解是满足方程组的未知量的,一组取值：,例如：,显然，,就是它的一,组解。,显然：是齐次线性方程组,留意：方程组的解能够有独一解，也能够,有无穷多组，也能够是无解。,的一组解。称为0解，或平凡解。否那么称为非零解。,定理3.1,3.2实践上通知我们要经过,求“增广矩阵的秩来判别解的情况。总结：,1假设 那么方程组无解。,2.1假设r=n 就有独一解；,2.2假设r n 就有无穷多解。,2假设 那么方程组有解。,设r=秩(A)，n为未知量的个数.,二、线性方程组解的断定定理,【例3】当a,b为何值时,以下方程组有独一解,、无穷多解或无解。,【解】,只需求对增广矩阵进展初等行变换,将其化为阶梯形矩阵,+(-1),+(-1),+(-2),根据方程组解的断定定理可知：,1当a=3,且b3时,所以方程组无解。,2当a=-3,且b=3时,所以方程组有无穷多解.,3当a-3时,所以方程组有独一解.,留意3个量：,1、线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：,(1.1)AX=b有独一解,(1.2)AX=b有无穷多解,(1.3)AX=b无解,2、齐次线性方程组AX=0的解的情况为：,(2.1)AX=0只需零解(独一解),(2.1)AX=0有非零解(无穷多解),注：对于齐次线性方程组没有“无解的情况。,【例】线性方程组AX=B有独一解，那么AX=0(),A能够有解 B有无穷多解 C无解 D有独一解,【解】,线性方程组AX=B有独一解，阐明,故AX=0只需独一解零解,三、线性方程组的求解,定义：“行简化阶梯形矩阵,假设阶梯形矩阵还满足下两个条件：,(1)各个非0行的第一个不为0的元素(首非0元),都是1；,(2)一切首非0元所在列的其他元素都是0.,如：,求解的方法：用初等行变换。,第一步，写出增广矩阵 ，并用初等,行变换变为阶梯矩阵；,第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为,行简化阶梯形矩阵；,第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再,整理出方程组的普通解。,实践上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。,【例4】解线性方程组：,【解】,对增广矩阵进展初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,+(-2),+(-4),+(-2),+(-1),(,),+3,(-1),+,+,所以方程组化简为：,即方程组,的解为：,【例5】解线性方程组：,【解】,对增广矩阵进展初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,(,),+(-2),+,+(-4),+(-1),+(-1),+(-3),所以方程组化简为：,含有自在未知量的解称为方程组的普通解。,P132,【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵经过,初等行变换化为：,【分析】,先确定根本未知量为：,那么此线性方程组的普通解中自在未知量的,个数为_。,那么其他的为自在未知量：,【练习】,求方程组的解。,知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等,行变换化为阶梯形矩阵：,有无穷多组，也能够是无解。,2)AX=b有无穷多解,只需求对增广矩阵进展初等行变换,(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；,4、齐次线性方程组：AX=0,显然：是齐次线性方程组,称为：非齐次线性方程组。,第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为,那么其他的为自在未知量：,(3)根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。,求“增广矩阵的秩来判别解的情况。,定义：“行简化阶梯形矩阵,线性方程组AX=B有独一解，阐明,、无穷多解或无解。,一、线性方程组的有关概念,个数为_。,解：,对系数矩阵进展初等行变换，将其进,一步化成行简化阶梯形矩阵，即,+,+(-1),+(-1),其中，,是自在未知量,写成方程组的方式为：,所以，方程组的解为：,其中，,是自在未知量,解齐次线性方程组,普通方法是：,(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；,(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；,(3)根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。,【例7】求线性方程组：,解：,的普通解。,对系数矩阵进展初等行变换，将其化,成行简化阶梯形矩阵，即,+(-2),+(-2),+(-1),(-1),+(-1),+2,+(-1),所以方程组化简为：,【例8】设齐次线性方程组为：,【解】,对系数矩阵进展初等行变换，即,+(-2),+(-3),问：取何值时方程组有非零解，并求一,般解。,+(-1),对于齐次线性方程组，要使其有非零解，,那么要求：,此时方程组有非零解。,这时系数矩阵变为：,+3,所以方程组化简为：,得方程组的普通解：,
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