矢量分析与场论课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/3/18,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/3/18,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/3/18,*,20XX年复习资料,大学复习资料,专 业：,班 级：,科目老师：,日 期：,第,1,章,矢量分析与场论,1.1,节 矢量及其代数运算,1.2,节 圆柱坐标系和球坐标系,1.3,节 矢量场,1.4,节 标量场,1.5,节 亥姆霍兹定理,2,2021/3/18,1.1,矢量及其代数运算,本节要点,标量与矢量,矢量的代数运算,3,2021/3/18,1.,标量与矢量,标量,(scalar)-,一个仅用大小就能够完整地描述的物理量,如：电压、温度、时间、质量、电荷等,矢量,(vector)-,一个有大小和方向的物理量,如：电场、磁场、力、速度、力矩等,4,2021/3/18,(1),矢量的表示,矢量的一般表示,A,=0,空矢,(null vector),或,零矢,(zero vector),a,为单位矢量,(unit vector),矢量,A,的大小,代表矢量,A,的方向,5,2021/3/18,r,(2),位置矢量,(position vector),位置矢量,能够由它在,三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,任一矢量可以表示为：,从原点指向空间任一点,P,的矢量，称为,位置矢量,。,直角坐标系中的一点,P,的,位置矢量,P,(,X,Y,Z,),x,y,z,O,a,x,X,a,y,Y,a,z,Z,6,2021/3/18,(3),矢量的代数运算,加法和减法,矢量的乘积,1.,矢量的加法和减法,结论,:,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。,矢量的代数运算,7,2021/3/18,2.,矢量的乘积,(1),点积,(dot product),结论,如果两个不为零的矢量的,点积等于零,，则这两个矢量必然,相互垂直,。,在直角坐标系中,A,B,也称为标量积,(scalar product),。它等于两个矢量的大小与它们的夹角的余弦之乘积。,8,2021/3/18,(2),叉积,(cross product),任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为,矢量积,(vector product),。,方向垂直于矢量,A,与,B,组成的平面，且,A,、,B,与,C,成右手螺旋关系,A,B,C,大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积,9,2021/3/18,(2),叉积（续）,在直角坐标系中，,叉积还可以表示为,结论,在直角坐标系中,如果两个不为零的矢量的,叉积等于零,，则这两个矢量,必然,相互平行。,10,2021/3/18,结论,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。,任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量,如果两个不为零的矢量的,点积等于零,，则这两个矢量必然,相互垂直,。,如果两个不为零的矢量的,叉积等于零,，则这两个矢量必然,相互平行,。,11,2021/3/18,1.2,三种常用的正交曲线坐标系,直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,本节要点,12,2021/3/18,1.,直角坐标系,位置矢量,面元矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,长度增量,点,P,(,x,0,y,0,z,0,),0,y,y,=,（平面）,o,x,y,z,0,x,x,=,（平面）,0,z,z,=,（平面,）,P,直角坐标系,x,y,z,直角坐标系的长度元、面积元、体积元,o,d,z,d,y,d,x,13,2021/3/18,a,a,z,a,1.1,圆柱坐标系,x,=,cos,y,=,sin,z,=,z,r,=,a,+a,z,z,x,y,z,=,常数,z=,常数,P,点,=,常数,x,y,z,z,14,2021/3/18,2.,圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,圆柱坐标系中的线元、面元和体积元,圆柱坐标系,（,半平面,）,（,圆柱面,）,（,平面,）,长度增量,15,2021/3/18,2.1,球坐标系,x,y,z,r,a,a,a,r,=,常数,=,常数,P,点,r,x,y,z,O,x,=,r,sin,cos,y,=,r,sin,sin,z,=,r,cos,r,=,r,a,r,z,16,2021/3/18,3.,球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,球坐标系中的线元、面元和体积元,球坐标系,（,半平面,）,（,圆锥面,）,（,球面,）,长度增量,17,2021/3/18,1.3,矢量场,(vector field),赋予物理意义的矢性函数称为矢量场,本节要点,通量和散度,环量和旋度,18,2021/3/18,2.,通量,(flux),通过闭曲面的总通量可表示为,面元矢量,单位矢量,n,为面元,dS,的外法向矢量,矢量场,A,与面元,dS,的标量积,-,通量,d,S,n,A,19,2021/3/18,讨论,假定矢量场,A,为流体的速度，通量的,物理意义,：单位时间内流体从,曲面,S,内穿出的正流量与从曲面,S,外流入的负流量的代数和。,当,0,，,流出多于流入，表示在,S,内必有产生流体的正源；,当,0,，称为源点,(source point)-,表示矢量场在该点处有散发通量之正源；,当,div,A,0,，称之为汇点,(sink point)-,表示矢量场在该点处有吸收通量之负源；,当,div,A,=0,，表示矢量场在该点处无源。,称,div,A,=0,的场是连续的,(continuous),或无散的（螺线管式）矢量场,(solenoidal vector field),。,22,2021/3/18,4.,哈米尔顿（,Hamilton,）算子,矢性微分算子，在直角坐标系中,23,2021/3/18,5.,散度定理,(divergence theorem),高斯散度定理,x,y,z,矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分,24,2021/3/18,例,1-3,在矢量,场 中，有一个边长为,1,的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，试求矢量场,A,的散度；从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。,解,：,x,y,z,25,2021/3/18,例,1-3,（续）,(),可见，从单位立方体内穿出的通量为,2,，,且有,x,y,z,26,2021/3/18,6.,环量,环量,（,circulation,）,的定义,矢量的,环量也是一数量,如果环量,0,，则在,l,内必然有产生这种场的,旋涡源,；,如果环量,=0,，则我们说在,l,内没有旋涡源。,矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘,矢量场性质的重要物理量，它同样是一个积分量。,27,2021/3/18,7.,环量面密度,环量面密度,若极限存在，则称它为矢量场在点,P,处沿方向,n,的,环量面密度。,必存在某一,固定矢量,R,，,这个固定矢量,在任意面元方向,上的投影就给,出该方向上的,环量面密度！,若面元与旋涡面间有一夹角，环量面密度总是小于最大值；,若面元与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大；,若面元与旋涡面相垂直，则环量面密度等于零。,28,2021/3/18,8.,旋度,(curl,或,rotation),矢量,R,称为矢量,A,的旋度,在点,P,处沿,n,方向的环量面密度与旋度的关系,在直角坐标系中，旋度的表达式,矢量场的旋度仍为矢量,29,2021/3/18,讨论,矢量场的旋度表示该矢量每单位面积的环量，,它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。,若,rot,A,0,，则该矢量场是有旋的,（,rotational,）,若,rot,A,=0,，则称,此矢量场是无旋的,(irrotational),或保守的场,(conservative),旋度的一个重要性质：旋度的散度恒等于零,!,30,2021/3/18,龙卷风的旋度,31,2021/3/18,9.,斯托克斯定理,(Stokes theorem),它表明矢量场,A,的,旋度围绕此面积曲线边界的线积分等于该矢量沿曲面法向分量的面积分,32,2021/3/18,例,1-4,已知一矢量场,求该矢量场的旋度,求该矢量沿如图所示的半径为,3,的 四分之一圆盘的线积分，验证斯托克斯定理。,解,：,33,2021/3/18,例,1-4,（续）,(),矢量沿四分之一圆盘的线积分,显然，有,34,2021/3/18,讨论,矢量场的性质可以用其散度和旋度来表征，,散度描述的是场分量沿着,各自方向,上的变化规律，,旋度,描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。,如果矢量场的散度为零，则该矢量场是连续的或无散的（螺线管式）；如果矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是,无旋的,或,保守的,。,矢量场的散度等于零,该矢量可以用另一个矢量的旋度来表示,35,2021/3/18,1.4,标量场,(scalar field),一,个仅用其大小就可以完整表征的场称为标量场,本节要点,等值面,方向导数,梯度,梯度的积分,36,2021/3/18,1.,等值面,例如,，,根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。,称为标量场,u,的,等值面,，随着,C,的,取值不同，得到一系列不同的等值面,.,100,200,300,400,标量场的等值面,37,2021/3/18,二维等高线和三维等值面,38,2021/3/18,标量场在不同方向上的变化率,一般说来是不同的,2.,方向导数,(directional derivative),方向导数,在直角坐标系中,如果上式的极限存在，则称它为,函数在点,P,0,处沿,l,方向的方向导数,39,2021/3/18,标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函,数增大的方向。也就是说，,梯度就是该等值面的法向矢量,。,3.,梯度（,gradient,）,方向导数等于梯度在该方向上的投影即,梯度的旋度恒等于零,如果一个矢量场满足,F,=0,，即是一个,无旋场，则该矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示,，即,F,=,u,梯度就是变化率,最大,方向上的方向导数。,梯度的性质,40,2021/3/18,4.,梯度的积分,如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数（第二章介绍）,由斯托克斯定理,，无旋场沿闭合路径的积分必然为零,P,2,点为任意动点，则,P,2,点的函数值可表示为,沿闭合路径的积分为零等价于,积分与路径无关，仅与始点和终点的位置有关,假如选定始点,P,1,为不动的固定点（参考点）,41,2021/3/18,结论,一个标量场，求其梯度得到的矢量场一定为无旋场；,无旋场沿闭合路径的积分一定等于零，或者说积分与路径无关；,无旋场可以用一个标量函数的梯度来表示。,无旋场也称为保守场或有势场。,42,2021/3/18,1.5,亥姆霍兹定理,矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场的重要量度，,亥姆霍兹定理,(Helmholtz theorem),是矢量场共同性质的总结。,本节要点,43,2021/3/18,亥姆霍兹定理,矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表明；标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。,如果一个场的旋度为零，则称为无旋场；如果一个场的散度为零，则称为无散场。,就矢量场的整体而言，无旋场的散度不能处处为零；同样无散场的旋度也不能处处为零，否则场就不存在,源看作是场的起因,散度,对应,发散源,(divergence source),旋度,对应,旋涡源,(rotational source),44,2021/3/18,设一个矢量场既有散度，又有旋度,，,则它可以表示为一,个无旋场分量和无散场分量之和,，即,亥姆霍