隐函数及参数方程所确定的函数的导数课件

,单击此处编辑母版标题样式,*,*,第四,讲,隐函数及参数方程所确定的函数的导数,内容提要,1.,隐函数的导数；,2.,由参数方程所确定的函数的导数。,教学要求,1.,熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；,2.,掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；,3.,熟练掌握对数求导法。,2024/11/11,1,一、隐函数的求导法,1.,显函数、隐函数的概念,(1),显函数,:,我们把函数,y,可由自变量,x,的解析式,称,为,显函数,.,(2),隐函数,:,若变量,y,与,x,之间的函数关系是由某,一个,方程,0,),(,=,y,x,F,所确定,那么这种函数称为由方程,0,),(,=,y,x,F,所确定的,隐函数,.,也可以确定一个函数,因为当,来表示的这种函数,2024/11/11,2,把一个,隐函数,化为,显函数,称为,隐函数的显化,注意,:,并不是所有的隐函数都可化为显函数,.,如,方程,0,=,+,-,y,x,e,e,xy,所确定的隐函数就不能显化。,2,、隐函数求导法,隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直,x,接在方程,0,),(,=,y,x,F,的两端对,求导,由此得到隐,函数的导数，,若,y,是由,0,),(,=,y,x,F,所确定的函数,将方程两边对,x,求导,但,要,把,y,看成,中间变量,应用复合函数求导,法,则进行求导。,2024/11/11,3,例,1,求由方程,2,2,2,R,y,x,=,+,所确定,隐,函数的导数,dx,dy,解,这里,2,y,可以看作是以,y,为中间变量的复合函数,运用复合函数的求导法则,在方程两边对,x,求导,隐函数求导的结果中,可能会含有变量,y,.,它,与显函数不同,显函数求导结果中,只含有自变,量,x,注意,:,2024/11/11,4,例,2,求由方程,0,=,+,-,y,x,e,e,xy,所确定,隐,函数的导数,解,运用复,合函数求导法则,在方程两边对,x,求导,得,0,0,=,=,x,y,可以看作,y,为中间变量的复合函数,2024/11/11,5,例,3,求,由方程,4,2,2,=,+,+,y,xy,x,确定的曲线上点,),2,2,(,-,处的切线方程和法线方程，,解,方程两边对,x,求导,于是,故曲线上在点,),2,2,(,-,处切线的,斜率为,2,2,-,=,=,=,y,x,y,k,2,2,2,2,-,=,=,+,+,-,=,y,x,y,x,y,x,1,=,切线的方程为,法线的方程为,2024/11/11,6,0,2,),1,(,2,2,=,+,+,x,y,x,解,y,y,x,arctan,),2,(,+,=,解,练习,求由下列方程所确定的隐函数的导数,2024/11/11,7,下面介绍对数求导法，,它可以用来解决两种类型函数,的求导问题。,解,等式两边取对数得,例,1,（隐函数）,2024/11/11,8,例,2,已知,函数,解,等式两边取自然对数得,2024/11/11,9,求,y,x,x,y,ln,ln,=,得,化简,得,练习,解,等式两边取自然对数得,2024/11/11,10,皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：,1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。,皮肌炎图片,皮肌炎的症状表现,(2),由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的,求导问题。,解,等式两边取自然对数：,2024/11/11,12,等式两边取对数得,解,练习,2024/11/11,13,二、由参数方程所确定的函数的求导法,例如,由参数方程,),2,0,(,sin,cos,p,=,=,t,t,R,y,t,R,x,所确定的函数是,2,2,2,R,y,x,=,+,这表明由参数方程可,以确定函数,.,一般地,如果,参数方程,确定了,y,是,x,的函数,),(,x,f,y,=,则称此函数为由参数,方程所确定的函数,.,下面讨论参数方程的求导法,.,2024/11/11,14,在参数方程,中，,则参数方程所确定的,即,运用复,合函数求导法则,2024/11/11,15,如果函数,具有二阶导数,由一阶导数,和,),(,t,x,j,=,还可以组成,参数方程,再用参数方程的求导方,法,得二阶导数,2024/11/11,16,例,1,求由,参数方程,所确,定函数的一阶导数,和二阶导数,解,由参数方程的求导方法,得一阶导数,或,t,dx,dy,cot,-,=,再由一阶导数,t,dx,dy,cot,-,=,和,t,R,x,cos,=,组成参数方,程,再用参数方程的求导方法,得二阶,导数,2024/11/11,17,例,2,求摆线,-,=,-,=,),cos,1,(,),sin,(,t,a,y,t,t,a,x,在,2,p,=,t,处的切线方程,和法线方程,解,由参数方程的求导方法,得,摆线上点,当,时,处切线斜率为,切线方程为,法线方程为,2024/11/11,18,练习,1.,求下列参数方程所确定的函数的导数,注意：,注意：,2024/11/11,19,解,当,时,处切线斜率,切线方程为,法线方程为,2024/11/11,20,小结,一、隐函数的求导法,二、由参数方程所确定的函数的求导法,参数方程,，,注意：,2024/11/11,21,