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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,n,阶行列式,一、全排列及其逆序数,问题:,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的,全排列,（或,排列,）.,个不同的元素的所有排列的,种数,，通常,用 表示.,例：,三个数的全排列种数：,同理,我们规定各元素之间有一个标准次序,n,个不同的自然数，规定由小到大为,标准次序,.,排列的逆序数,在一个排列 中，若数,则称这两个数组成一个,逆序,.,例如,排列32514 中，,定义,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,定义,一个排列中所有逆序的总数称为此排列,的,逆序数,.,例如,排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序为3,1,故此排列的,逆序数为3+1+0+1+0=5,.,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,排列的奇偶性：,计算排列逆序数的方法：,方法1：,分别计算出排在 前面比它大的数,码之和，即分别算出 这 个元素,的逆序数，这,n,个元素的逆序数的,总和,即为所求,排列的逆序数.,分别计算出排列中每个元素前面比它大的,数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的,逆序数.,方法2：,例1,求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算以下排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为,偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,二、,n,阶行列式的定义,为了给出,n,阶行列式的定义，我们先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式的定义为,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,2每项都是位于不同行不同列的三个元素的,乘积,3每项的正负号都取决于位于不同行不同列,的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,定义,：,n,!项的代数和,记作,说明：,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解的方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于,不同行、不同,列,个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例1,计算对角行列式,分析,:展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2,计算,上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解：,例3,同理可得,下三角行列式,例4,证明,对角行列式,证明：,对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,假设记,那么依行列式定义,证毕,1、行列式是一种,特定的算式,，它是根据求解的方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有 项，每项都是位于,不同行、不同列,的 个元素的乘积,正负号由,下标排列,的逆序数决定.,三、小结,
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