有限元的力学基础第二章课件

有限元的力学基础第二章,有限元的力学基础第二章,2,第二章 有限元法的力学基础,2-1 弹性力学的研究内容,2.2 弹性力学与材力、结构力学课程的区别,2.3 弹性力学的几个基本概念,2.4 弹性力学基本方程,2.5 虚功原理及虚功方程,2第二章 有限元法的力学基础2-1 弹性力学的研究内容,3,材料力学,-,研究杆件（如梁、柱和轴）,的拉压、弯曲、剪切、扭转和组,合变形等问题。,弹性力学,-,研究各种形状的弹性体，如杆,件、平面体、空间体、板壳、薄壁,结构等问题。,第一节 弹性力学的内容,结构力学,-,在材料力学基础上研究杆系结构,（如 桁架、刚架等）。,研究对象,3材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）,4,：在区域,V,内严格考虑,静力学、几何学和物理学,三方面条件，建立,三套方程,;在边界,s,上考虑受力或约束条件，,建立,边界条件,;,并在边界条件下求解上述方程,，得出较精确的解答。,弹力研究方法,在研究方法上，弹力和材力也有区别：,第一节 弹性力学的内容,研究方法,4 ：在区域V内严格考虑静,5,材力,也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用,近似的计算假设,（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,第一节 弹性力学的内容,研究方法,因此,材料力学,建立的是,近似理论,，得出的是,近似的解答,。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。,5 材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常,6,如：梁的弯曲问题,弹性力学结果,材料力学结果,当,l,h,时，两者误差很小,如：变截面杆受拉伸,弹性力学以微元体为研究对象，建立方程求解，得到弹性体变形的一般规律。所得结果更符合实际。,6如：梁的弯曲问题弹性力学结果材料力学结果当 l,7,（3）数学理论基础,材力、结力,常微分方程（低阶，一个变量）。,弹力,偏微分方程（高阶，二、三个变量）。,数值解法,：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。,3.与其他力学课程的关系,弹性力学是塑性力学、断裂力学、岩石力学、振动理论、有限单元法等课程的基础。,弹性力学,数学弹性力学；,应用弹性力学。,7（3）数学理论基础材力、结力 常微分方程（低阶，一个,8,2.3弹性力学的几个基本概念,(1)描述变形体的基本变量,82.3弹性力学的几个基本概念(1)描述变形体的基本变量,9,描述变形体的基本方程,基本变量、基本方程及边界条件,9描述变形体的基本方程基本变量、基本方程及边界条件,10,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：,表面力,：,是分布于,物体表面的力,(风力、液体压力、接触力)。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号X、Y、Z 来表示。,体力,：,是分布于,物体体积内的外力（,如重力、磁力、惯性力）。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。,弹性体受外力以后，用以描述其在物体内任意部位的产生的内力和变形特征的力学量是,应力和应变。,(2),外力的概念,10 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：(2),11,2.应力,(1)一点应力的概念,A,Q,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1),P,点的内力面分布集度,(2)应力矢量.,-,-P,点的应力,的极限方向,由外力引起的在,P,点的某一面上内力分布集度,应力分量,n,(法线),应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位:,与面力相同,MPa(兆帕),应力关于坐标连续分布的,112.应力(1)一点应力的概念AQ内力(1)物,12,(2)一点的应力状态,通过一点,P,的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x,面的应力：,y,面的应力：,z面的应力：,12(2)一点的应力状态通过一点P 的各个面上应力状况的,13,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标,x,表示,所在面的法线方向；,第2个下标,y,表示,的方向.,应力,正负号,的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标,正面,上，与坐标正向一致时为正；,坐标,负面,上，与坐标正向相反时为正。,x,y,z,O,13用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号,14,与材力中剪应力,正负号,规定的区别：,x,y,规定使得单元体顺时的剪应力,为正，反之为负。,x,y,z,O,14与材力中剪应力正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时,15,材力：以,拉,为正,材力：,顺时针,向为正,弹力,与,材力,相比,，,正应力,符号，相同,切应力,符号，不同,15材力：以拉为正材力：顺时针向为正弹力与材力 相比，正应,16,3.形变,形变 物体的形状改变,x,y,z,O,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变,度量,用剪应变,度量,（剪应变两垂直线段夹角,（直角）,的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1)一点形变的度量,应变的正负：,线应变：,伸长,时为,正,，,缩短,时为,负,；,剪应变：,以直角,变小时为正,，,变大时为负,；,163.形变形变 物体的形状改变xyzO（1）线段长,17,(2)一点应变状态,代表一点,P,的,邻域内,线段与线段间夹角的改变,x,y,z,O,P,B,C,A,其中,应变无量纲；,4.位移,注：,一点的位移,矢量,S,应变分量均为位置坐标的函数，即,x,y,z,O,S,w,u,v,P,位移分量：,u,x,方向的位移分量；,v,y,方向的位移分量；,w,z,方向的位移分量。,量纲：,m 或 mm,17(2)一点应变状态 代表一点 P 的邻域内线段与,18,弹性力学问题：,已知,外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（,E,、,）、约束条件,等，求解,应力、应变、位移,分量,。,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,应力,与,体力、面力,间的关系；,（2）几何学关系：,形变,与,位移,间的关系；,（3）物理学关系：,形变,与,应力,间的关系。,18弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特,19,2.4弹性力学基本方程,(1)平衡方程,考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程（受力状态的描述）：,192.4弹性力学基本方程(1)平衡方程,20,（2）几何方程-应变与位移的关系,A点在X方向的位移分量为u；,B点在X方向的位移,：,微元体由ABCD变形为ABCD,求线素AB、AD的正应变 ，用位移分量来表示：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,20（2）几何方程-应变与位移的关系A点在X方向的位移,21,几何方程-应变与位移的关系,X向线素AB的转角 ，Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为,v,；,B点在Y方向的位移分量,：,21几何方程-应变与位移的关系X向线素AB的转角,22,几何方程-应变与位移的关系,X向线素AB的转角 ，Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,同理，Y向线素AD的转角,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应变为：,v,u,dx,dy,A,B,C,D,dx,x,u,u,+,dx,x,v,v,+,dy,y,u,u,+,dy,y,v,v,+,A,B,C,D,D,B,b,a,x,y,0,图 2-5,22几何方程-应变与位移的关系X向线素AB的转角,23,几何方程-应变与位移的关系,以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况，,同样方法来考察体素在xoz和yoz平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。,23几何方程-应变与位移的关系以上是考察了体素在xoy,24,（3）几何方程的矩阵表示,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,24（3）几何方程的矩阵表示可以证明，如果弹性体内任一点,25,当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则为,式中E为弹性模量。,弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：,式中 为泊松系数。,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,（5）物理方程-应力应变关系,25当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足,26,单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数,E,及,所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量前述两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。,物理方程-应力应变关系,26设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成,27,如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：,式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数 存在如下的关系：,因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律,。,物理方程-应力应变关系,27 如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标,28,将,应变分量表示为应力分量的函数,，可称为物理方程的第一种形式。若将式改写成,应力分量表为应变分量的函数,的形式，可得物理方程的第二种形式：,物理方程-应力应变关系,28将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一,29,物理方程,矩阵的形式表示如下：,可简写为：,29物理方程矩阵的形式表示如下：可简写为：,30,D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,30D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和,31,2.5 虚功原理及虚功方程,图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：,图2-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：,综合可得：,即：,式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做,虚功原理,。,a,b,A,C,B,(a),(b),B,P,A,P,c,R,B,D,A,D,C,B,A,B,A,图 2-8,312.5 虚功原理及虚功方程图示一平衡的杠杆，对C点写力,32,虚功原理表述如下：,在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上所有的主动力在虚位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。,虚功原理用公式表示为：,这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理与虚功方程,32虚功原理表述如下：虚功原理与虚功方程,33,弹性变形体情况,外力功：,对于任意三维弹性体，其受体积力：,表面力：,其总外力功：,1 外力功,33弹性变形体情况外力功：对于任意三维弹性体，其受体积力：其,34,弹性变形体情况,2 应变能,若忽略弹性变形过程中的热量、动能和外界阻尼，则外力功全部转换为应变能，其存储于弹性体内。,单位体积应变能：,整个体积应变能：,3 势能,基于弹性体外力功和应变能的表示，定义弹性体的外力势能和变形能之和为系统势能，即：,34弹性变形体情况2 应变能 若忽略弹性变,35,由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。,外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功；内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变