第五节闭区间上连续函数的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 连续函数的性质,一 连续函数的运算性质,二 闭区间上连续函数的性质,三 小结与思考判断题,定理,1,例如,1,、四则运算的连续性,一、连续函数的运算性质,定理,4,例如,定理,3,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,定理,3,注,1.,定理的条件：,内层函数有极限，外层函数,在极限值点处连续,意义,1.,极限符号可以与函数符号互换,;,例1,解,例2,解,同理可得,二、初等函数的连续性,定理,4,基本初等函数在定义域内是连续的,.,定理,5,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,例1,例2,解,解,初等函数求极限的方法,代入法,.,例,3,求,解,不能应用差的极限运算法则，须变形,先分子有理化，然后再求极限,例,4,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,三,闭区间上连续函数的性质,在闭区间,a,b,上连续：,在,(a,b),内连续，在,a,点右连续，在,b,点左连续,.,闭区间上连续函数的定义,、最大值和最小值定理,定义,:,例如,定理,1(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,注意,:,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论：,由定理,1,可知有,证,:,设,上有界,.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,3,、介值定理,定义,:,.,内至少存在一个实根,在,即方程,几何解释,:,定理,4(,介值定理,),设函数,),(,x,f,在闭区间,b,a,上连续，且在这区间的端点取不同的函,数值,A,a,f,=,),(,及,B,b,f,=,),(,那末，对于,A,与,B,之间的任意一个数,C,，,在开,区,间,(,),b,a,内至少有一点,x,，使得,C,f,=,),(,x,),(,b,a,x,.,例1,证,由零点定理,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,.,证,由零点定理,例,2,例,4,证,由,零点定理知,总之,注,方程,f,(,x,)=0,的根,函数,f,(,x,),的,零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,1,0,直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,2,0,间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，,再利用零点定理,辅助函数的作法,（,1,）将结论中的,(,或,x,0,或,c,),改写成,x,（,2,）移项使右边为,0,，令左边的式子为,F,(,x,),则,F,(,x,),即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证,F,(,x,),在,所讨论的区间上,连续，,再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于,F,(,x,),在所论,闭区间上的最大值与最小值之间。,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,3.,初等函数连续性,4.,四个定理,有界性定理,;,最值定理,;,介值定理,;,根的存在性定理,.,注意,1,闭区间；,2,连续函数,这两点不满足上述定理不一定成立,备用题,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为无穷间断点,;,故,为跳跃间断点,.,思考题一,思考题一解答,是它的可去间断点,思考题二,下述命题是否正确？,思考题二解答,不正确,.,例函数,