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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,行列式是人们从解线性方程组的需要讨论中建立起来的。它是高等代数中的一个基本概念，它不仅是研究线性方程组的重要工具，而且在讨论向量、矩阵和二次型时也有广泛的应用。,本章主要内容有：,1,1.排列,定义1 由 组成的一个有序数组称为一个 级排列.,定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序,相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆,序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.,排列 的逆序数记为:,定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的,排列称为奇排列.,定理1 对换改变排列的奇偶性.,定理2任意一个 级排列与排列 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.,在全部 级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 个.,2,2.n级行列式,定义4 级行列式,(1),等于所有取自不同行不同列的 个元素的乘积,(2),的代数和，这里 是 的一个排列，,每一项(2)都按下列规则带有符号：当 是偶排列,时，(2)带有正号，当 是奇排列时，(2)带有负号.,这一定义可以写成,3,2.n级行列式（续1）,(3),这里 表示对所有 级排列求和.,(3)式称为 级行列式的展开式,级行列式还可表示成,(4),4,2.n级行列式（续2）,还可同时应用行、列指标的排列来决定行列式(1)中的项前面所带的正负号：(1)的项,前面所带的符号为,一些特殊的行列式：,(1)上三角行列式,(2)下三角行列式,5,3.行列式的性质,性质1 行列互换，行列式不变.即,性质2 行列式某一行的公因子可以提出来，即,6,3.行列式的性质（续1）,推论：如果行列式中一行为0，那么行列式为0.,性质3,7,3.行列式的性质（续2）,性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.（所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等）,性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零.,性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.,性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.,8,4.行列式的计算,定义5 由 个数排成的 行(横的)，列(纵的)的表,称为一个 矩阵.,9,4.行列式的计算（续1）,定义6 所谓数域 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：,1)以 中一个非零的数乘矩阵的一行；,2)把矩阵的某一行的 倍加到另一行，这里 是 中任意一个数；,3)互换矩阵中两行的位置.,10,4.行列式的计算（续2）,一个 级行列式可看成是由一个 级方阵 决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 .由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是,显然，阶梯形方阵都是上三角形的，我们知道一个上三角形行列式的值就等于它的主对角线上元素的乘积.因此 是容易计算的.,11,4.行列式的计算（续3）,行列式的计算方法：,(1)简单的行列式按照定义计算,(2)利用行列式性质化成上三角行列式,(3)应用一行（列）展开公式,(4)应用一些已知公式,12,5.行列式按一行（列）展开,定义7 在行列式,中划去元素 所在的第 行与第 列，剩下的 个元素按原来的排法构成一个 级的行列式.,13,5.行列式按一行（列）展开（续1）,称为元素 的余子式，记为,令,称为元素 的代数余子式.,14,5.行列式按一行（列）展开（续2）,定理 设,表示元素 的代数余子式,则下列公式成立,用连加号简写为,15,5.行列式按一行（列）展开（续3）,级的范德蒙（,Vandermonde,）,行列式,16,6.克拉默法则,定理（克拉默法则）如果线性方程组,(1),的系数矩阵,(2),17,6.克拉默法则（续1）,的行列式,那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为,(2),其中 是把矩阵 中第 列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式,18,6.克拉默法则（续2）,定理 如果齐次线性方程组,的系数矩阵的行列式 那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有,推论 齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 ；齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 .,19,7.拉普拉斯定理,定理（拉普拉斯定理）设在行列式 中任意取定了,个 行.由这 行元素所组成的一切 级,子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 .,20,
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