一维开集闭集完备集的构造课件

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 开集、闭集、完备集,定义.,若点集,E,的点都是它的,内点,则称,E,为,开集,。,例如，在平面上,开集,由定义可见,点集,E,是开集的充要条件是,E,中每一点都存在一个邻域包含在,E,中,。,2 开集、闭集、完备集定义.若点集 E 的点都是它的,1,由,E,的内点全体所成的集称为,E,的内部,记为,.,显然,E,的内部 是开集.,此外,整个空间R,n,与空集,也是开集.,E,的边界点的全体称为,E,的,边界,记作,E,;,由闭集的定义不难看出：,点集,E,为闭集的充要条件是,E,E,.,E,为开集的充要条件是,.,无外壳者是开集,有外壳者是闭集,由E的内点全体所成的集称为E的内部,记为 .显然,2,闭集,例如，在平面上,闭集例如，在平面上,3,包含,E,的最小闭集称为,E,的闭包,记为 。,可以证明,例如，,R,1,的点集,包含E 的最小闭集称为E 的闭包,记为 。可以证明,4,定理1.,(1)恒为开集。,(2)整个空间R,n,与空集,是开集。,定理2.,(1)恒为闭集。,(2)整个空间R,n,与空集,是闭集。,证明：,只证明(1)。,若,E,是有限集，则,E,没有聚点,所以是闭集.,若,E,是无限集,设,x,0,是,E,的一个聚点,则对于,x,0,的任意邻域N(,x,0,),都含有,E,中异于,x,0,的点,x,即,x,N(,x,0,)是,E,的一个聚点,从而N(,x,0,)含有,E,的无穷多个点,因而,x,0,也是,E,的一个聚点,所以,x,0,E,。因此,E,包含自己的导集，从而,E,是闭集.,定理1.(1)恒为开集。(2)整个空间,5,因 ,故,这就证明了 是闭集。,Q.E.D.,定理3.,(1),E,为开集的充要条件是,E,=,E,o,。,充分性得证。,(2),E,为闭集的充要条件是 。,证明：,(1)显然。,(2)若 ,则由定理2知,E,为闭集。,若,E,为闭集,则,E,E,从而,Q.E.D.,因 ,故这就证明了,6,定理4.,设,E,为空间R,n,的子集。,则,E,为闭集当且仅当,E,c,=R,n,-,E,为开集.,证明：,必要性。设,E,为闭集。,任取,x,0,E,c,=R,n,E,则,x,0,E,。又因,E,为闭集,所以,x,0,不是,E,的聚点。从而存在,x,0,的一个邻域N(,x,0,)只含 有,E,中有限个点：,x,1,x,2,x,k,。因,x,0,E,故这,k,个点异于,x,0,。,则,0。再由,的取法，N(,x,0,),E=,即,N(,x,0,),E,c,E,c,=R,n,-,E,是开集.,令,定理4.设 E为空间Rn的子集。则,7,设,E,c,为开集.则对任意,x,0,E,c,存在,x,0,的一个邻域,N,(,x,0,),使得,N,(,x,0,),E,c,.即,N,(,x,0,)中没有,E,中的点,因此,x,0,不是,E,的聚点.这表明,E,的聚点全部在,E,中,即,E,E,.因此,E,为闭集.,充分性。设,E,c,=R,n,-,E,为开集。,定理5,(,开集的基本性质,)开集具有如下的性质:,(i)任意个开集的并集是开集.,(ii)有限个开集的交集是开集.,设Ec 为开集.则对任意 x0Ec,8,证明:,(i)设 是任意一族开集.任取,证明存在,x,0,的一个邻域 包含在 中即可.,(ii)设,A,1,A,2,A,k,是,k,个开集.任取,证明存在,x,0,的一个邻域 包含在 中即可.,Q.E.D.,证明:(i)设 是任,9,定理7,(,闭集的基本性质,)闭集具有如下的性质:,(i)任意个闭集的交集是闭集.,(ii)有限个闭集的并集是闭集.,由De Morgan 公式,得,注意,任意个开集的交集不一定是开集.,定理7 (闭集的基本性质)闭集具有如下的性质:(i)任意,10,Q.E.D.,定理9,若,E,是R,n,中的开集,F,是R,n,中的闭集,则,E,-,F,是开集,F,-,E,是闭集。,证明：,E,-,F,=,E,F,c,F,-,E,=,F,E,c,Q.E.D.,Q.E.D.定理9 若E是Rn中的开集,F是R,11,定理10,(,Borel有限覆盖定理,)设,F,是一有界闭集，被一族开集 所覆盖(即 ),则总可以从这族开集中选出有限多个开集,U,1,U,2,U,m,来覆盖,F,，即,证明：,略。,Q.E.F.,定理10 (Borel有限覆盖定理)设F,12,例：,Cantor 集,下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的集,Cantor(三分)集,.,例：Cantor 集下面我们介绍在举例时常常用到的一个重要的,13,(1)第一次去掉的开区间是,在闭区间0,1中,2,0,个开区间,(1)第一次去掉的开区间是在闭区间0,1中20个开区间,14,(2)第二次去掉的开区间是,2,1,个开区间,(3)第三次去掉的开区间是,.,2,2,个开区间,(2)第二次去掉的开区间是21个开区间(3)第三次去掉的,15,(,n,)第,n,次去掉的开区间是,2,n,-,1,个开区间,(n)第n次去掉的开区间是2n-1个开,16,记,则Cantor 集,开集,闭集,G,的长度,E,的长度,记则Cantor 集开集闭集G的长度E的长度,17,注：,第一次次去掉开区间 后剩下的闭区间,2,1,个闭区间,第二次去掉开区间 后剩下的闭区间,2,2,个闭区间,注：第一次次去掉开区间,18,记,每个闭区间长度,每个闭区间长度,记每个闭区间长度每个闭区间长度,19,则,E,也可表示为,1,o,Cantor 集,E,是一非空闭集,即,E,E,.,结论:,2,o,Cantor 集,E,是一自密集,即,E,E,.,3,o,Cantor 集,E,是一完备集,即,E,=,E,.,则E也可表示为 1o Cantor 集E是一非空闭集,20,一个集合,A,如果它的闭包不包含任何邻域,则称为是,无处稠密的,(这时也称,A,为,疏朗集,、,离散集,)。,4,o,Cantor 集,E,是一,疏朗,集.,5,o,Cantor 集,E,具有连续统基数,即它是不可 数的.,6,o,Cantor 集,E,是一,零测度集,.,一个集合,A,是疏朗集当且仅当其内部,A,o,=,。,证明：,1,o,前已证.,2,o,由Cantor 集的定义,在第,n,次删除2,n-,1,个开区间后,其长度都为 .,剩下的2,n,个闭区间,于是,一个集合A,如果它的闭包不包含任何邻域,21,3,o,由1,o,和2,o,即得.,4,o,为证,E,是疏朗集,只需证明,E,o,=.,3o 由1o和2o即得.4o 为证E是疏朗集,22,5,o,Cantor 集,E,具有连续统基数,不证。可参看,那汤松著实变函数论,.,6,o,Cantor 集,E,是一,零测度集,.,构造Cantor 集,E,时从0,1中去掉的那些开区间的长度之和为1.,Q.E.D.,我们已知,任意个开集的并集是开集,但任意个开集的交集未必是开集;任意个闭集的交集是闭集,但任意个闭集的并集是未必是闭集。于是我们给出如下定义,5o Cantor 集E具有连续统基数,23,定义 可数个闭集的并集,称为,F,-型集,.,可数个开集的交集,称为,G,-型集,.,注：,F,-型集未必是闭集,G,-型集未必是开集.,Borel集,开集和闭集是,R,n,中的常见的集.但,R,n,中有一些常见的集,它们既不是开集,也不是闭集.例如,可数个开集的交不一定是开集,可数个闭集的并不一定是闭集.下面我们要考虑的Borel 集就包含了这类集,并且Borel 集类对一切有限或可数并、交、余和差运算都封闭.,定义.,以开集、闭集为对象,作至多可数次并或交的运算所得到的集统称为Borel集,R,n,中所有Borel集所成之集类为,B,n,。今后当没有必要指明空间维数或空间维数不指即明时，,B,n,也可简记为,B,定义 可数个闭集的并集,称为F-型集.可数个开集的,24,定理11.,R,n,中的Borel集类是一个-代数。,为,R,n,中的,开方体,(或,开区间,),记为(,a,b,).,类似可定义,R,n,中的其它类型的方体.在直线,R,1,和平面,R,2,中方体分别就是区间和矩形.,定理12,R,n,中所有的开集,闭集,有限集或可数集,各种类型的方体都是Borel 集.,定理11.Rn中的Borel集类是一个-代数。为Rn中,25,证明,由定义即知开集是Borel 集.由于Borel 集类对余运算封闭,而闭集是开集的余集,故,闭集是Borel集,.因为单点集,a,是闭集,所以,单点集是Borel集,.由于有限集或可数集可以表示成单点集的有限并或可数并,而Borel 集类对有限并或可数并封闭,所以,有限集或可数集是Borel 集,.由于开方体是开集,闭方体是闭集,因此,开方体和闭方体是Borel 集,.往证半开半闭方体是Borel 集.为简单计,不妨只考虑直线上的情形.由于等式 和Borel 集类对可数交运算的封闭性,即知半开半闭区间(,a,b,是Borel 集.类似可证明其它类型的半开半闭区间都是Borel 集.,证明 由定义即知开集是Borel 集.由于Bor,26,本节结束！,注：,特别地,由于有理数集是可数集,而无理数集是有理数集的余集,由定理12 知道,有理数集和无理数集都是Borel 集.显然型集和型集都是Borel 集.,本节结束！注：特别地,由于有理数集是可数集,而无理,27,