3-2双因素方差分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,设在某试验中，有二个因素,A,、,B,在变动。,因素,A,取,r,个不同水平,A,1,，,A,2,，,，,A,r,，,因素,B,取,s,个不同水平,B,1,，,B,2,，,，,B,s,，,在,(,A,i,B,j,),水平组合下的试验结果独立地服从,N,(,ij,2,),分布。,双因素无重复试验的方差分析,例,3,将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表,（单位：公斤），试以显著性水平,1,=0.05,2,=0.01,考察品种和,地块对收获量的影响是否显著。,这是一个双因素无重复试验的方差分析问题。,若,ij,=,+,i,+,j,，我们称该方差分析模型为,无交互作用,的方差分析模型。此时，我们只需对（,A,i,B,j,）的每个组合各做一次试验，记其结果为,x,ij,，则,x,ij,=,+,i,+,j,+,ij,。因此，,无交互作用的方差分析模型为,H,01,:,1,=,2,=,a,r,=0,，,H,11,:,1,2,a,r,不全为零,H,02,:,1,=,2,=,s,=0,，,H,12,:,1,2,s,不全为零,若检验结果拒绝,H,01,(,H,02,),，则认为因子,A,(,B,),的不同水平对结果有显著影响，若二者均不拒绝，那就说明因子,A,与,B,的不同水平组合对结果无显著影响。,因素,A,的偏差平方和,反映因素,A,的水平间的差异引起的波动。,因子,B,的偏差平方和,反映了因素,B,的水平间的差异引起的波动。,误差平方和,反映了随机误差引起的波动。,总的偏差平方和,反映了数据,x,ij,总的波动大小。,在,H,01,，,H,02,为真时,对给定的显著性水平,，当,F,A,F,(,r,-1,(,s,-1)(,r,-1),时拒绝,H,01,F,B,F,(,s,-1,(,s,-1)(,r,-1),时拒绝,H,02,.,对给定的显著性水平,，当,F,A,F,(,r,-1,(,s,-1)(,r,-1),时拒绝,H,01,F,B,F,(,s,-1,(,s,-1)(,r,-1),时拒绝,H,02,.,例,3,将土质基本相同的一块耕地分成均等的五个地块，每块又分成均等的四个小区。有四个品种的小麦，在每一地块内随机分种在四个区上，每小区的播种量相同，测得收获量如下表（单位：公斤），试以显著性水平,1,=0.05,2,=0.01,考察品种和地块对收获量的影响是否显著。,查表得临界值,F,0.05,(4,，,12)=3.26,，,F,0.01,(3,，,12)=5.95,。,由于,F,B,F,0.05,(4,，,12),，,故认为地块不同对收获量无显著影响。,由于,F,A,F,0.01,(3,，,12),，,故认为品种不同对收获量影响极显著。,为研究三种不同作物对污泥中镉吸收能力的差别，选择,4,个地块划分成三个小区，三种作物随机分种在每个地块的三个小区上。在所有地块上施用同等数量的污泥，作物收获后分别测定其中镉的积累量（微克,/,千克）,地块,1,地块,2,地块,3,地块,4,作物,1,7,6,8,7,作物,2,2,4,4,4,作物,3,4,6,5,3,二、双因素等重复试验的方差分析,若,ij,+,i,+,j,，则称,=,ij,-,-,i,-,j,为因子,A,的第,i,个水平与因子,B,的第,j,个水平的交互效应，它们满足关系式：,为了研究交互效应是否对结果有显著影响，那么在（,A,i,B,j,）,水平组合下至少要做,t,（,2,）,次试验,，记其结果为,x,ijk,，则,要检验假设,:,H,01,:,1,=,2,=,a,r,=0,，,H,11,:,1,2,a,r,不全为零,H,02,:,1,=,2,=,s,=0,，,H,12,:,1,2,s,不全为零,H,03,:,对一切,i,j,有,ij,=0,H,13,:,ij,不全为零,将总的离差平方和分解：,S,e,反映了误差的波动；,S,A,，,S,B,，,S,AB,除反映误差的波动外还分别反映了因子,A,的效应的差异，因子,B,的效应的差异，交互效应的差异所引起的波动。我们分别称它们为误并的偏差平方和，因子,A,的偏差平方和，因子,B,的偏差的平方和以及交互作用,A,B,的偏差平方和。,对给定的显著性水平,，,例,4,在某化工生产中为了提高收率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其收率数据如下面计算表所列（数据均已减去,75,）。试在,=0.05,显著性水平下检验不同浓度、不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。,经计算的方差分析表,方差分析结果表明，只有因子,A,是显著的（因为,4.09,3.89,）,即浓度不同将对收率产生显著影响；而温度及交互作用的影响都,不显著，这说明要提高收率必须把浓度控制好。,用高压消解法提取沉积物样品中的铅，共选用,2,种有机质含量不同的样品（高含量和低含量），,并设置了,4,种压力水平（,1.0,1.2,，,1.4,和,1.6,个大气压）。每种有机质含量,-,压力组合条件下安排了两个重复实验，测定结果如下表,压力,（因素,A,）,有机质含量（因素,B,）,低含量,高含量,1.0,64,66,59,61,1.2,77,75,73,77,1.4,83,83,78,80,1.6,90,94,88,88,试在,=0.05,显著性水平下检验不同压力、有机质含量以及它们间的交互作用对回收率有无显著影响,