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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Cq,课程:高等数学,2005年6月,1,第一章 函数与极限,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,本章主要内容,：,映射,函数,函数极限,数列极限,无穷大与无穷小,函数的连续性与间断点,2,第一节 映射与函数,一、集合,二、映射,三、函数,3,一、集合,（一）定义及表示法,定义1：,称,为,集,元素,a,属于集合,M,记作,元素,a,不属于集合,M,记作,(或,).,不含任何元素的集合称为,空集,记作,.,含有有限个元素的集合成为,有限集,.,不是有限集的集合称为,无限集,.,N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合,Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合,R:全体实数集合 R*:全体正实数集合,合,。,组成集合的事物称为,元素,.,4,(1),列举法,：,按某种方式将集合中的元素一一列举出来.,例:,有限集合,(2),描述法,：,x,所具有的特征,例:,整数集合,或,有理数集,p,与,q,互质,实数集合,x,为有理数或无理数,表示法：,5,1、根本运算：,并集,：由所有属于,A,或者属于,B,的元素组成的集合，记作,AB。,交集,：由即属于,A,又属于,B,的元素组成的集合，记作,AB。,差集,：所有属于,A,而不属于,B,的元素组成的集合，记作,AB,补集,：称集合,I,为全集，称,IA,为,A,的余集或补集。,直积,特例:,记,为平面上的全体点集,（二）集合的运算,6,交换律,：ABBA，ABBA；,结合律,：（AB）CA（BC），,分配律,：,（,AB）C（AC）（BC），,对偶律,：（AB）,C,A,C,B,C,，,（AB）CA（BC）；,（AB）C（AC）（BC）；,（AB）,C,A,C,B,C,；,2、集合的并、交、补运算满足以下法则：,7,点的,邻域,其中,a,称为邻域中心,称为邻域半径.,去心,邻域,左,邻域:,右,邻域:,8,f,二、映射,（一）映射的概念,设,X,Y,是两个非空集合，如果存在一个法,则 f,使得对,X,中的每个元素,x,，按法则,f,在,Y,中有唯一确定的元素,y,与之对应，则,称,f,为从,X,到,Y,的映射,。记作,定义：,元素,y,称为元素,x,在映射,f,下的,像,记作,元素,x,称为元素,y,在映射,f,下的,原像,.,集合,X,称为映射,f,的,定义域,;,Y,的子集,称为,f,的,值域,.,X,x,Y,y,9,1、构成映射必备的三要素：,2、元素,x,的像,y,是唯一的,但,y,的原像不一定唯一.,对应法则,f,是对每个,x,X,，有唯一确定的,y=f,(,x,),与之对应。,值域范围,D,f,Y;,定义域,D,f,=,X,；,注意：,10,对映射,若,则称,f,为,满射,;,若,有,则称,f,为,单射;,若,f,既是满射又是单射,则称,f,为,双射,或,一一映射,.,满射,：,单射,：,双射,：,11,X,(数集 或点集,),在不同数学分支中有不同的惯用,X,(,),Y,(数集),f,称为,X,上的,泛函,X,(,),X,f,称为,X,上的,变换,R,f,称为定义在,X,上的,为,函数,映射又称为算子.,名称.例如,说明:,12,1、逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为,f,的,逆映射,.,（二）逆映射与复合映射,13,定义：,设有两个映射,其中,，,则由映射g和,f,可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个,映成,显然，这个对应法则确定了一个从,X,到,Z,的映射，这个映射称为映射g和,f,构成的,复合映射,，记作,即,2、复合映射,14,三、函数,（一）函数的概念,定义域,D,f,定义4,.设数集,则称映射,为定义在,D,上的,函数,记为,自变量,因变量,f,(,D,)称为值域,R,f,(对应规则),(值域),(定义域),15,定义域,对应规律,对应规律的表示方法,:,解析法、,图象法,、列表法。,使表达式及实际问题都有意义的,函数构成要素,如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，,自变量集合.,那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。,16,设函数,且有区间,1、有界性,使,称,使,称,为,有界函数,.,在,I,上有界,.,使,若对任意正数,M,均存在,则称,f,(,x,),无界,.,，称,在,I,上有上界,称,在,I,上有下界,当,（二）函数的几种特性,使,使,17,2、单调性,时,称,为,I,上的,称,为,I,上的,单调增函数,;,单调减函数,.,18,且有,若,则称,f,(,x,)为,偶函数,;,若,则称,f,(,x,)为,奇函数,.,3、奇偶性,由定义知偶函数关于,y,轴对称,x,y,且有,由定义知奇函数关于原点对称,19,有,则称,为,周期函数,且,称,l,为,周期,(一般指最小正周期).,周期为,注:,周期函数不一定存在最小正周期.,4、周期性,设函数,f,(,x,)的定义域为,D,如果存在一个正数,l,，使得对于任一,例如：常数函数,狄里克雷函数,x,为有理数,x,为无理数,或,20,1、反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为,f,的,反函数,.,（三）反函数与复合函数,21,其反函数,(减),(减).,1),y,f,(,x,)单调递增,且也单调递增,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,如图：,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线,对称.,指数函数,性质:,22,2、复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的,复合函数,u,称为,中间变量,.,注意:,构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,函数,但函数链,不能构成复合函数.,可定义复合,23,例如,可定义复合函数:,其中,u、v,都是中间变量,两个以上函数也可构成复合函数.,24,3、函数的运算,的定义域依次为,则可以定义两个函数的以下运算,和（差）,商,积,25,1、根本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,2、初等函数,由常数及根本初等函数,否则称为,非初等函数,.,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为,初等函数,.,例如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,定义,（四）初等函数,26,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域,对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,2.函数的定义及函数的二要素,27,28,