谱估计(和经典法)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,谱 估 计,主要内容,引言,经典谱估计,现代谱估计,1 引 言,概述,估计质量的评价,功率谱估计的应用,研究现状,1 引 言,随机信号的功率谱密度(函数)，是其自相关函数的傅氏变换。,X,(,n,)的自相关函数,前提：均值为零,令 则上式可写成,实际上只有将上式求平均，成为,才有意义,功率谱的真实值,1 引 言,谱分析,用有限的N个样本数据来估计平稳随机过,程的功率谱密度。,其中,或,功率谱的估计值,周期图,1 引 言,估计质量的评价,的,偏差(Bias),为零,。所谓偏差(用,B,表示)定义为,无偏估计,：某个随机变量的真值,：它的估计值,估计,1,和估计,2,都属于无偏估计；,估计,2,较之估计,1,方差小；,1 引 言,估计质量的评价,最小方差估计,方差,：某个随机变量的真值,：它的估计值,为最小的估计。,1 引 言,估计质量的评价,均方误差,：某个随机变量的真值,：它的估计值,不难证明：,当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。,1 引 言,估计质量的评价,一致估计：,正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件,反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的,1 引 言,功率谱估计的应用,在信号处理的许多场所，要求预先知道信号的功率谱密度,(,或自相关函数,),。,常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数估计。,从宽带噪声中检测窄带信号。,功率谱估计的应用,谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。,例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1,Hz,振幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是正弦波功率的10)。,用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。,(,a,)经典BT PSD法,(,b,)最大熵谱估计法,(,c,)Pisavcnko 谐波分解法,1 引 言,研究现状,功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1,1 引 言,研究现状,经典谱估计：,间接法,(BT PSD,估计法,),先通过式,对自相关函数进行估计，,然后再通过式,作傅氏变换得功率谱估计值。,以傅立叶变换为基础,已知数据,取样自相关函数功率谱,1 引 言,研究现状,经典谱估计：,直接法,(,周期图法,),将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直接按式,进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计),计算效率高,频率分辨率低,将已知数据序列的傅立叶变换的模的平方除以序列长度作为功率谱的估计,1 引 言,研究现状,经典谱估计：,固有缺陷：原因：“加窗效应”,频率分辨率低,原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。,频谱能量向旁瓣泄漏,原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限窄的现象。,周期图的缺陷：非一致估计,当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零，而是趋近于常数。,“加窗效应”,矩形序列,其傅立叶变换为,幅度谱,“加窗效应”,各种窗函数的频谱,现代谱估计：,1 引 言,研究现状,1967 Burg,最大熵,1968,Parzen,自回归,AR,用参数模型来模拟信号,实际遇到的随机过程,x,(,n,)可以用ARMA模型来逼近,目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：,Levinson递推算法；,Burg递推算法；,正反向线性预测最小二乘算法。,以随机过程的参数模型为基础,2 经典谱估计,自相关函数的估计,周期图作为功率谱的估计,平滑后的周期图作为PSD的估计,2.1 自相关函数的估计,设观察到,N,个样本序列的值,x,(,n,),:,x,(0),x,(1),x,(N-1)，现要由此N个数据来估计自相关函数：,当 时，属于无偏估计。,估计质量,2.1 自相关函数的估计,偏倚,自相关函数的真值,2.1 自相关函数的估计,估计质量,可推出：,方差,2.1 自相关函数的估计,估计质量,当 时,满足一致估计的条件,方差,2.1 自相关函数的估计,当 时不能得到有用的估计。此时按下式估计,同时,均值等于真值用三角窗函数加权,2.1 自相关函数的估计,的偏差和方差为,但 时 为一致估计,有偏,非零,同时可以证明,2.1 自相关函数的估计,今后我们还是用 作为自相关函数的估计，并仍用,表示,通过将自相关函数的估计进行傅氏变换求得功率谱估计的方法即为BT PSD法。,2.2 周期图法进行谱估计,求出信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度。,Blackman 和 Tukey,对信号进行加窗处理得,x,(,n,)，再进行离散傅立叶变换得,X,(,e,j,)，再求模的平方得功率谱密度。,周期图法,2.2 周期图法进行谱估计,如前所述,其中,2.2 周期图法进行谱估计,周期性的,周期图,优点：可利用,FFT,，计算方便，效率高,如果我们观察到,x,(,n,)的,N,个值：,可以通过FFT直接求得,2.2 周期图法进行谱估计,估计质量,讨论其偏倚和方差,周期图的期望值,令,称为Bartlett窗函数，即,其傅氏变换为,当 时,2.2 周期图法进行谱估计,估计质量,讨论其偏倚和方差,自相关函数的真值,将上式与式 代入式 ，并求其傅氏变换，得,则周期图的偏倚为：,有偏,无偏,2.2 周期图法进行谱估计,估计质量,讨论其偏差和方差,周期图的方差：,假设序列,x,(,n,)是一个实、白色、零均值过程的样本，具有高斯概率分布函数。,经推导可得出：,周期图的方差：,当 时,不满足一致估计的条件。,为了使周期图作为功率谱估计满足一致估计的条件，必须将周期图进行,平滑(或平均)处理,。,2.2 周期图法进行谱估计,估计质量,讨论其偏差和方差,如果 以及,2.2 周期图法进行谱估计,周期图的协方差：,(,k,和,l,为整数)则上式成为,以 的整倍数为频率间距的周期图的值是不相关的,2.2 周期图法进行谱估计,估计质量,偏差和方差,虽然本节推导的结果是以假设高斯概率密度为根据的，但其定性结果在一个相当宽广的范围内成立。,小结,2.3 平滑后的周期图作为PSD的估计,目的：,使方差减小，得到一致的谱估计。,方法：,窗口处理法：,选择适当的窗口函数作为加权函数进行加权平均来加快收敛速度。,平均周期图的方法：,先将数据分段，再求各段周期图的平均值。又称,Bartlett,方法。,2.3.1 Bartlett平均周期图法,为什么周期图经过某种平均,(,或平滑,),后会使它的方差当 时趋于零，达到一致估计的目的,?,如果 是不相关的随机变量，每一个具有期望值 ,方差,。,则可以证明它们的数学平均,的期望值等于 ,方差等于,当,时,可达到一致谱估计的目的,降低估计量的方差的一种有效方法是将若干个独立估计值进行平均.,2.3.1 Bartlett平均周期图法,基本思想,将序列 分段求周期图再平均。,设将,x,(,n,)分成,L,段，每段有,M,个样本，因而N=LM,第,i,段样本序列可写成,第,i,段的周期图为,如果 很小,则可假定各段的周期图,是互相独立的。故谱估计可定义为,L,段周期图的平均，即,期望值,将式,和,代入上式可得,估计质量,2.3.1 Bartlett平均周期图法,结论：,Bartlett估计的期望值是真实谱与三角窗函数的卷积。故也是有偏估计。,但当 时，,但当 时，,2.3.1 Bartlett平均周期图法,估计质量,方差,Bartlett估计是一致估计。,Bartlett法使谱估计的方差减小是用增加Bias以及降低谱分辨率的代价换来的。,实质,比较两式,差别：后者将前者,W,B,中的,N,改为,M,，,因而使 主瓣的宽度增大,周期图,平滑后的周期图作为功率谱的估计值,由于主瓣的宽度愈窄愈接近,函数，则偏差愈小。故,而主瓣愈宽使分辨率愈差。因此Bias可用来说明谱的分辨率，,Bias愈大说明谱分辨率愈差,。,2.3.2 Welch法,对Bartlett法进行二方面的修正：,选择适当的窗函数,(,n,),，并在周期图计算前直接加进去，这样得到的每一段的周期图为,其中,为归一化因子,而Bartlett法每段的周期图为,在分段时，可使各段之间有重迭，这样将会使方差减小,(,当,N,与,M,一定时,),。,