第7章多元函数积分学216(二重积分计算直角坐标系)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第,7,章 多元函数积分学,高等数学,A,7.1.2,二重积分的计算,(1),7.1,重积分,7.1,重积分,7.1.2 二重积分的计算,一、积分区域的描述,直角坐标系下二重积分的计算,二、化二重积分为二次积分,三、直角坐标系下计算二重积分习例,1-6,四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分习例,7-11,o,x,y,a,b,c,d,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D,，如图,.,x,y,可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为,故二重积分可写为,其中,dxdy,称为面积元素,.,则面积元素为,一、积分区域的描述,特点,：穿过,D,的内部且平行于,y,轴的直线与,D,的边界的,交点不多于两个，其不等式组的表示如下,则称此积分区域是,x,型区域,.,根据二重积分的几何意义：若,(,x,y,)0,，则二重积分是以,z,=,f,(,x,y,),为顶的曲顶柱体的体积。,故可以考虑,用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积,的方法。,利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分,平行截面面积已知,的立体的体积,（,1,）当积分区域如图所示,o,x,y,a,b,D,相应的曲顶柱体如右图。,在区间,a,b,内任取一点,x,，过此点作与,yoz,面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：,x,o,x,y,a,b,z,D,底为,高为,x,o,x,y,a,b,z,D,在区间,a,b,内任取一点,x,，过此点作与,yoz,面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：,注意,D,的特殊之处。,二次定积分,二重积分,y,Z,o,y,z,注意,：,(1),先对,y,后对,x,的二次积分，计算时先把,x,看作常数，,对,y,积分得到关于,x,的函数，再对,x,在,a,b,上积分，记为,利用,X,型区域,D,的不等式组表示，,有助于记住前面推出的二重积分计算公式：,特点,：穿过,D,的内部且平行于,x,轴的直线与,D,的边界的交点不多于两个，,则称此积分区域是,y,型区域,.,（,3,）类似地，若积分区域为,则可将二重积分化为先积,x,后积,y,的二次积分：,用不等式组表示为：,o,x,y,a,b,c,d,o,x,y,a,b,c,d,o,x,y,o,x,y,计算二重积分的步骤,：,(1),画区域图,;,(2),列出,x,型或,y,型区域的,不等式组表示,;,(3),计算二次积分,(,若一种次序积不出来时,换另一种次序,).,三、直角坐标系下计算二重积分习例,解,(1),画区域图,(2),列出区域的不等式表示,(3),将二重积分表示成二次积分并计算,或者,o,x,y,2,1,1,2,解,(1),画区域图,(2),列出区域的不等式表示,(3),列出二次积分并计算,o,x,y,解,积不出来，须换另一种积分次序,o,x,y,1,1,解,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域,:,先对,x,积分不行,注意：二重积分转化为二次定积分时，,关键在于正确确定积分次序和积分上、下限,一定要做到熟练、准确,。,小结：利用直系计算二重积分的步骤,（,1,）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（,3,）确定积分限，化为二次定积分；,（,2,）确定积分次序；,（,4,）计算两次定积分，即可得出结果,.,怎样确定积分次序和积分上、下限？,问题,怎样确定积分次序和积分上、下限？,问题,确定积分次序和积分限要注意以下两个原则,要记住哦,!,（,1,）积分区域分块尽量少；,（,2,）被积函数易于积出。,（）,根据积分域类型,确定积分次序和积分上、下限,（）,根据被积函数特点,确定积分限,解,积分区域如图,x,y,o,2,3,1,原式,解,注意：,1,交换二次积分次序的关键在于画出相应的积分区域图，即使题目简单也,应将,D,域图画出,。,2,二次积分是连续作二次定积分，给出定积分时积分的下限未必一定要小于上限，而,二重积分化为二次积分其下限一定不能大于上限,，所以当给定的二次积分中出现下限大于上限时，应将上、下限颠倒过来，同时改变二次积分的符号。,3,o,二次积分的,外限一定是常数,。,导学材料中的问题,特殊情形,如果,f,(,x,y,),在矩形域上,R,=,a,b,c,d,上连续，则二重积分等于累次积分,a,b,x,y,c,d,x,y,如果,f,(,x,y,),=,(,x,),(,y,),（两个单变量函数的乘积），则,a,b,x,y,c,d,x,证明：由题设，,I,还可等于以下两种形式的积分,解：,a,b,a,b,四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分,解,由区域的对称性和,函数的奇偶性可得,o,x,y,D,解,o,x,y,1,1,D,利用轮换对称性计算二重积分,（轮换对称）,证明：由题设，,I,还可等于以下两种形式的积分,解,a,b,a,b,解：,1,1,解：,4,2,1,-2,