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第五节 数系的扩充与复数的引入,三年,30,考 高考指数,:,1.,理解复数的基本概念；,2.,理解复数相等的充要条件；,3.,了解复数的代数表示形式及其几何意义；,4.,会进行复数代数形式的四则运算,;,5.,了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义,.,1.,复数的基本概念是考查的重点,.,2.,复数代数形式的乘除运算、复数相等是考查的重点，也是热点,.,3.,题型以客观题为主,.,1.,复数的有关概念,(1),复数的定义,形如,a+bi(a,bR),的数叫复数，其中实部是,_,，虚部是,_.,(2),复数的分类,a,b,满足条件,(a,b,为实数,),复,数,的,分,类,a+bi,为实数,_,a+bi,为虚数,_,a+bi,为纯虚数,_,b=0,b0,(3),复数相等：,a+bi=c+di,_(a,b,c,dR).,(4),共轭复数：,a+bi,与,c+di,共轭,_(a,b,c,dR).,(5),复数的模,向量 的长度叫做复数,z=a+bi,的模，记作,_,或,_,，,即,|z|=|a+bi|=_(a,bR).,【,即时应用,】,判断下列命题是否正确？,(,请在括号中填写“”或“,”),(1),若,3+(2+x)i,为实数,(xR),则,x=-2.(),(2),已知,x,yR,若,(x+2)+yi=3+2i,，则,x=1,y=2.(),(3)2i+3,的共轭复数为,-3+2i.(),(4)|1+i|,|2-i|.(),【,解析,】,(1)3+(2+x)i,若为实数，则,2+x=0,x=-2,故,(1),正确,.,(2),由复数相等知，故,(2),正确,.,(3)2i+3,的共轭复数为,-2i+3,故,(3),错误,.,(4)|1+i|=,|2-i|=,故,(4),错误,.,答案：,(1)(2)(3),(4),2.,复数的几何意义,(1),复平面的概念：建立,_,来表示复数的平面叫,做复平面,.,(2),实轴、虚轴：在复平面内,x,轴叫做,_,y,轴叫做,_,，,实轴上的点都表示,_,；除原点以外，虚轴上的点都表示,_.,(3),复数的几何表示：,复数,z=a+bi,复平面内的点,_,平面向量,_.,直角坐标系,实轴,虚轴,实数,纯虚数,Z(a,b),【,即时应用,】,判断下列命题是否正确？,(,请在括号内填写“”或“,”),原点是实轴与虚轴的交点,(),1+,对应的点位于第四象限,(),若,z=3+2i,，则 在复平面上对应的点在第三象限,(),【,解析,】,原点在实轴上，且在虚轴上，故正确；,1+,=1-i,1-i,对应点为,(1,-1),在第四象限，故正确；由,=,3-2i,知不正确,.,答案：,3.,复数的运算,(1),复数的加、减、乘、除运算法则,设,z,1,=a+bi,z,2,=c+di(a,b,c,dR),则,加法：,z,1,+z,2,=(a+bi)+(c+di)=_;,减法：,z,1,-z,2,=(a+bi)-(c+di)=_;,乘法：,z,1,z,2,=(a+bi)(c+di)=_;,除法：,=_,(c+di0).,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(2),复数加法的运算定律,复数的加法满足交换律、结合律，即对任何,z,1,、,z,2,、,z,3,C,，,都有,z,1,+z,2,=_,(z,1,+z,2,)+z,3,=_.,z,2,+z,1,z,1,+(z,2,+z,3,),【,即时应用,】,(1),设,z=3i+2,则,1-=_.,(2)1+i+i,2,+i,3,=_.,(3),为实数，则实数,a=_.,(4)+(3+i)(1-i)=_.,【,解析,】,(1)z=3i+2,=2-3i,1-=1-(2-3i)=-1+3i,(2)1+i+i,2,+i,3,=1+i-1-i=0,(3),为实数，,(1-a)=0,a=1.,(4),原式,=+(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.,答案：,(1)-1+3i (2)0 (3)1 (4)5,复数的有关概念,【,方法点睛,】,解决有关复数概念问题的方法,(1),复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程,(,不等式,),组即可,.,(2),求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数,z,，然后利用复数的模公式求解,.,【,提醒,】,解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达,有关概念，如,a+bi,为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi,的,虚部是什么等,;,二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度,.,【,例,1】(2011,安徽高考,),设,i,是虚数单位，复数 为纯虚,数，则实数,a,为,(),(A)2(B)-2,(C)-(D),【,解题指南,】,先把复数化成,a+bi(a,bR),的形式，再根据,复数为纯虚数的概念列出关于,a,的条件去解答即可,.,【,规范解答,】,选,A.,又 是纯虚数，,则 所以,a=2.,【,反思,感悟,】,处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部，从定义出发解决问题,.,【,变式训练,】,已知复数,z=+(a,2,-5a-6)i(aR),试求实数,a,分别取什么值时，,z,分别为：,(1),实数；,(2),纯虚数,.,【,解析,】,(1),当,z,为实数时，则有,.a=6,即,a=6,时，,z,为实数,.,(2),当,z,为纯虚数时，则有,不存在实数,a,使,z,为纯虚数,.,复数的几何意义,【,方法点睛,】,复数的几何意义及应用,(1)|z|,表示复数,z,对应的点与原点的距离,.,|z,1,-z,2,|,表示两点间的距离，即表示复数,z,1,与,z,2,对应点间的距离,.,(2),结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活,.,【,例,2】(1)(2011,山东高考,),复数,z=(i,为虚数单位,),在复平面内对应的点所在象限为,(),(A),第一象限,(B),第二象限,(C),第三象限,(D),第四象限,(2),若,i,为虚数单位，图中复平面内,点,Z,表示复数,z,，则表示复数 的,点是,(),(A)E(B)F,(C)G(D)H,(3),如图，平行四边形,OABC,，顶点,O,、,A,、,C,分别表示,0,，,3+2i,-2+4i,试求：,对应的复数，对应的复数；,对应的复数,.,【,解题指南,】,(1)(2),两题解题的关键是把所给复数化成,a+bi,(a,bR),的形式，再利用复数的几何意义求解,.(3),利用 对,应的复数等于点,A,对应的复数减去点,C,对应的复数和向量的运算,去解决,.,【,规范解答,】,(1),选,D.,所以复数,z,所对应的点在第四象限,.,(2),选,D.,由图可得,z=3+i,对应的点为,(2,-1),，即点,H.,(3),对应的复数为,-3-2i.,，对应的复数为,-3-2i.,对应的复数为,(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.,【,互动探究,】,本例,(3),题中，已知条件不变，若设,P,为复平,面上一点且满足 如何求解,P,点的轨迹方程,.,【,解析,】,设,P,代表的复数为,z=x+yi(x,yR).,P,点轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆，,故点,P,的轨迹方程为,x,2,+y,2,=29.,【,反思,感悟,】,解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义,(,如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置,),，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算,.,【,变式备选,】,1.,若,(2+i)z=-i,，则复数,z,对应的点在复平面内的,(),(A),第一象限,(B),第二象限,(C),第三象限,(D),第四象限,【,解析,】,选,C.,由 可知，复数,z,对应的点在复平面内的第三象限,.,2.,虚数,(x-2)+yi,，其中,x,、,y,均为实数，当此虚数的模为,1,时，,的取值范围是,(),(A),(B),(C),(D),【,解析,】,选,B.,设,k=,则,k,为过圆,(x-2),2,+y,2,=1,上点及原点的直线的斜率，如图,设圆,(x-2),2,+y,2,=1,的圆心为,M,，过原点作圆,M,的切线,OA,，则,sinAOM=.,又,y0,k0.,由对称性可知选,B.,复数的代数运算,【,方法点睛,】,1.,复数的代数运算技巧,复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位,i,的看作一类，不含,i,的看作另一类，分别合并即可，但要注意把,i,的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉,i,的特点及熟练应用运算技巧,.,2.,几个常用结论,在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度,.,(1),(2)-b+ai=i(a+bi);,(3)i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-i,i,4n,+i,4n+1,+i,4n+2,+i,4n+3,=0,nN,*,.,【,例,3】(1)(2011,重庆高考,),复数,=(),(A)(B),(C)(D),(2)(2011,湖北高考,)i,为虚数单位，则,=(),(A)-i(B)-1(C)i(D)1,(3)(2011,浙江高考,),把复数,z,的共轭复数记作,i,为虚数,单位,.,若,z=1+i,则,(1+z)=(),(A)3-i(B)3+i,(C)1+3i(D)3,【,解题指南,】,根据复数的四则运算法则求解,.,【,规范解答,】,(1),选,C.,(2),选,A.(),2 011,=i,2 011,=i,3,=-i.,(3),选,A.(1+z),=+|z|,2,=1-i+2=3-i.,【,互动探究,】,本例,(3),中题干不变，若,=2+i,，则复数,z=_.,【,解析,】,=(1+i),(2+i)=1+3i,z=1-3i.,答案：,1-3i,【,反思,感悟,】,进行复数代数形式的四则运算，一方面要严,格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，,如本题中的,=i,的性质，其实复数的除法运算就是分母实,数化的运算,.,【,变式备选,】,1.,复数 的值是,(),(A)-1(B)1(C)-i(D)i,【,解析,】,选,A.,=-1,，故选,A.,2.,复数,=(),(A)0(B)2(C)-2i(D)2i,【,解析,】,选,D.,故选,D.,3.,设,z=1+i,，则,+z,2,=(),(A)-1-i(B)-1+i,(C)1-i(D)1+i,【,解析,】,选,D.,故选,D.,【,创新探究,】,复数命题新动向,【,典例,】(2011,陕西高考,),设集合,M=y|y=|cos,2,x-sin,2,x|,xR,N=x|x-|,，,i,为虚数单位，,xR,则,MN,为,(),(A)(0,1)(B)(0,1,(C),0,1)(D),0,1,【,解题指南,】,集合,M,为函数值域，,N,为不等式的解集，其中,为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键,.,【,规范解答,】,选,C.y=|cos,2,x-sin,2,x|=|cos2x|,0,1,所,以,M=,0,1,又,N=(-1,1),MN=,0,1),故选,C.,【,阅卷人点拨,】,通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创新点拨和备考建议,:,创,新,点,拨,本题的创新点如下：,不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向,.,备,考,建,议,解决复数的综合问题在备考时要高度关注：,(1),掌握好复数的有关概念、复数的运算法则，是解答该类题的关键,.,(2),对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可,.,1.(2011,天津高考,)i,是虚数单位，复数,=(),(A)2+i(B)2-i,(C)-1+2i(D)-1-2i,【,解析,】,选,B.,
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