ACM基础算法入门-PPT

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ACM,基础算法入门,.,基础动态规划,.,基础的“穷竭搜索”,.,贪心的三种区间问题,.,数论那些事,.,二分的另类法,引言,算法简单但思想及其重要,介绍的算法都堪称为经典中的经典,基础动态规划,多阶段决策过程最优化的数学方法,三要素：,-,阶段,-,决策,-,状态,动态规划的适用范围,最优子结构（最优化原理）,当前状态依赖于前面的状态得到，是前面状态的完美总结,无后效性（不成环）,经典模型,数塔模型,背包问题,区间最大和模型,最长非降子序列模型,最长公共子序列,数字归并（区间,dp,）,旅行商问题（状态压缩）,求解从顶到下经过节点的最大值是多少,解题思路,列状态,v I j,表示走到第,i,层的第,j,个节点的最大值,分阶段,每一个层就是一个阶段,状态转移方程（决策）,V i-1 j +=V I j v I j+1?V I j :v I j+1;,单调递增非降子序列,给定一整型数列,a,1,a,2,.,a,n,（,0n=100000,），找出单调递增最长子序列，并求出其长度。,如：,1 9 10 5 11 2 13,的最长单调递增子序列是,1 9 10 11 13,，长度为,5,。,解题思路,定义状态,dp,【,i,】以,i,为结束节点最长单调子序列长度,阶段,每一个点选择过程即阶段,转移方程：,Dp,【,i,】,=max,（,dp,【,1,（,i-1,）】）,+1,想想有没有更好的方法？,dp总结,模型匹配法,三要素法,先确定阶段（数塔问题）,先确定状态（一般题目都是）,先确定决策（背包问题）,贪心的三种区间问题,选择不相交区间,区间选点,区间覆盖,选择不相交区间,数轴上有n个开区间（ai,bi），选择尽量多个区间，,使得这些区间两两没有公共点。,【分析】,首先明确一个问题：假设有两个区间x,y,区间x完全,包含y。那么，选x是不划算的，因为x和y最多只能选一个，,选x不如选y，这样不仅区间数目不会减少，而且给其他区,间留出了更多的位置。接下来，按照bi从小到大的顺序对,所有区间排序。,会场安排问题,先对n个区间按照bi从小到大的顺序排序，如果,bi相同，则ai按照从大到小的顺序排序。然后从前往后,扫描每个区间，找出所有的符合条件的区间。,注意：排序后第一个区间一定会选，因为它的bi最小，,它不影响后面区间的选取，而且如果不选此区间，最终,求出的区间数目会变少。,区间选点问题,数轴上有n个闭区间ai,bi。取尽量少的点，使得每个,区间内都至少有一个点（不同区间内含的点可以是同一个）。,【分析】,如果区间i内已经有一个点被取到，我们称此区间已经被,满足。受上一题的启发，我们先讨论区间包含的情况。由于,小区间被满足时大区间一定也被满足。所以在区间包含的情,况下，大区间不需要考虑。,因此，我们把所有区间按b从小到大排序（b相同时a从,大到小排序），则如果出现区间包含的情况，小区间一定排,在前面。第一个区间应该选取哪一个点呢？正确的贪心策略,是：取最后一个点。如下图。,解题思路,根据刚才的讨论，所有需要考虑的区间的a也是递增的，,我们把它画成上图的形式。如果第一个区间不选最后一个点，,而是去中间的，如灰色点，那么把它移动到最后一个点后，,被满足的区间增加了，而且原先被满足的区间现在一定被满,足。这样才能保证选取的点最少。,区间覆盖问题,数轴上有n个闭区间ai,bi，选择尽量少的区间覆盖,一条指定线段s,t。,【分析】,本题的突破口仍然是区间包含和排序扫描，不过要先,进行一次预处理。每个区间在s,t外的部分都应该预先被切,掉，因为它们的存在是毫无意义的。例如要覆盖线段3,5，,闭区间0,1的存在无意义。在预处理后，在相互包含的情况,下，小区间显然不应该被考虑。,解题思路,把各区间按照a从小到大顺序。如果区间1的起点不是s，,则无解，即s,t无法被完全覆盖（因为其他区间的起点更大，,不可能覆盖到s点），否则选择起点在s的最长区间。选择此,区间ai,bi后，新的起点应该被设置为bi,并且忽略所有区间在,bi之前的部分，就像预处理一样。虽然贪心策略比上面的题,复杂，但是仍然只需要一次扫描。如下图5所示。s为当前有,效起点（此前部分已被覆盖），则应该选择区间2。,s,穷竭搜索是指将所有的可能性罗列出来，在其中寻找答案的方法。,概念：,这里，我们主要介绍：,深度优先搜索,宽度优先搜索,基础的“穷竭搜索”,深度优先搜索,深度优先搜索（DFS，Depth-First Search）是搜索的手段之一。,它从某个状态开始，不断地转移状态直到无法转移，然后回退到前一步的状态，继续转移到其他状态，如此不断重复，直至找到最终的解。,根据深度优先搜索的特点，采用递归函数实现比较简单。,例题,给定整数 a1,a2,a3,.,an,判断是否可以从中选出若干个数，使他们的和恰好为k。,限制条件：,1=n20,-108=ai=108,-108=k只需1次转移就可到达的所有状态-只需2次转移就可到达的状态-.，这样的顺序进行搜索。对于同一状态，宽度优先搜索只经过一次，因此复杂度为O（状态数*转移的方式）。,根据宽度优先搜索的特点，采用队列进行实现。,例题：,水池数目,南阳理工学院校园里有一些小河和一些湖泊，现在，我们把它们通一看成水池，假设有一张我们学校的某处的地图，这个地图上仅标识了此处是否是水池，现在，你的任务来了，请用计算机算出该地图中共有几个水池。,输入,m,行每行输入,n,个数，表示此处有水还是没水,（,1,表示此处是水池，,0,表示此处是地面）,0m100,0n100,输入：,3 4,1 0 0 0,0 0 1 1,1 1 1 0,输出：,2,输入：,5 5,1 1 1 1 0,0 0 1 0 1,0 0 0 0 0,1 1 1 0 0,0 0 1 1 1,输出：,3,解题过程,本题是简单的搜索问题，采用深度优先遍历可以解决，根据题目要求，假设从任意一点值为,1,的出发，将这点的坐标上下左右全部用,0,替换，,1,次,DFS,后与初始动这个,1,连接的,1,全部被替换成,0,，因此，直到图中不再存在,1,为至，总共进行的,DFS,的次数就是最后的结果咯！那么，根据题目要求，有,4,个方向，时间复杂度为,O(4*n*m),。,数论那些事,数学，特别是数论与计算机科学有着密切的联系，所以也常被选作题材。虽然数学问题大多需要使用特定方法求解，但其中有几个基础算法扮演着重要的角色。,数论基础,辗转相除法,有关素数的基础算法,快速幂,1、求最大公约数,2、扩展欧几里得,3、ax+by=gcd(a,b),1、埃氏筛法,2、区间筛法,辗转相除法,扩展欧几里得,双六,一个双六上面有向前向后无限延续的格子，每个格子都写有整数。其中0号格子是起点，1号格子是终点。而骰子上只有 a,b,-a,-b 四个整数，所以根据 a 和 b 的值的不同，有可能无法到达终点。,格子如下：,-4-3-2-1 0 1 2 3 4,掷出四个整数各多少次可以到达终点？输出任意一组解。,1=a,b b,。,1,，显然当,b=0,，,gcd,（,a,，,b,）,=a,。此时,x=1,，,y=0,；,2,，,ab!=0,时,设,ax1+by1=gcd(a,b);,bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);,根据朴素的欧几里德原理有,gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);,则,:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;,即,:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;,根据恒等定理得：,x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2;,这样我们就得到了求解,x1,y1,的方法：,x1,，,y1,的值基于,x2,，,y2.,上面的思想是以递归定义的，因为,gcd,不断的递归求解一定会有个时候,b=0,，所以递归可以结束。,埃氏筛法,给定整数n，请问n以内多少个素数,n=106,输入,25,输出,9,解题思路,要枚举n以内素数，可以用埃氏筛法,列出,2,以后的所有序列：,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25,标出序列中的第一个素数，也就是,2,，序列变成：,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25,2,将剩下序列中，划摽,2,的倍数，序列变成：,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25,4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 （划出的数）,如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。,本例中，因为,25,大于,2,的平方，我们返回第二步：,剩下的序列中第一个素数是,3,，将主序列中,3,的倍数划出，主序列变成：,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25,4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 （划出的数）,我们得到的素数有：,2,，,3,25,仍然大于,3,的平方，所以我们还要返回第二步：,现在序列中第一个素数是,5,，同样将序列中,5,的倍数划出，主序列成了：,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25,4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25（划出的数）,我们得到的素数有：,2 3 5,。,因为,25,等于,5,的平方，跳出循环,.,结论：去掉数字，,2,到,25,之间的素数是：,2 3 5 7 11 13 17 19 23,。,总结,算法竞赛是展示大学生创新能力、团队精神和在压力下编写程序、分析和解决问题能力的竞赛。,在此送上楼教主一句名言：,虽然我不会这道题，但是AC还是没有问题的！,谢谢,thank you,