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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章变换,信号与系统的分析方法有,时域分析法,和,变换域分析法,。,连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换；,离散时间系统中，其变换域方法是,Z变换,和,傅立叶变换,。对求解离散时间系统而言，Z变换是个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。,变换的定义与收敛域,反变换,变换的根本性质和定理,序列的变换与连续信号的拉普拉斯,变换、傅立叶变换的关系,离散系统的系统函数、系统的频率响,应,变换的定义与收敛域,变换的定义,对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为,其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换，,变换的收敛域,由于x(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表示成一个闭合形式，,按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即,使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域，不同形式的序列，其收敛域不同,、有限长序列,其变换为,因为x(n)是有界序列，由于是有限项求和，显然在0|z|上都满足收敛条件，收敛域至少是有限Z平面(0，)，在n1和n2的特殊取值情况下，收敛域可扩大为,Rez,Imz,0,ROC,有限长序列的收敛域,例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=R,(n)，求其X(z)。,解：,收敛域为。,从上式的分母可知在z=1处有一个极点，但是从分子处看出z=1处有一个零点，零极点刚好对消。,、右边序列,右边序列只有在nn1时，序列值不全为零，其它n值时，序列值全为零，即,其变换为,假设RX-是收敛域的最小半径，,那么右边序列变换的收敛域,为,有限长序列，其收敛域为有限Z平面,是Z的负幂级数，其收敛域为R,X-,|Z|,Rez,Imz,Rx,-,0,右边序列,当n,1,=0时的右边序列称为,因果序列,，其收敛域为,因此在|z|=处Z变换收敛是因果序列的特征。,例：求指数序列的变换。,解：,、左边序列,左边序列只有在n,n,时，序列值有值，n,n,时，序列值全为零，即,其变换为,左边序列变换的收敛域,为,当,n,时，收敛域不包括z=0，即；,当,n,时，收敛域包括z=0，即,。,有限长序列，其收敛域为有限Z平面,是Z的正幂级数，其收敛域为|Z|R,X,Rez,Imz,0,R,x+,左边序列,例：求序列的变换,解：,如果a=b，那么此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的重要性。,、双边序列,一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。,其变换为,假设满足RX RX，,那么双边序列变换的收敛域为,右边序列，其收敛域为|Z|R,X,左边序列，其收敛域为|Z|R,X,Rez,Imz,0,R,R,x+,双边序列,例：求序列的变换，其中。,解：,第一局部的收敛域为，即；第二局部的收敛域为，,即。,，所以,反变换,求反变换的方法通常有：,围线积分法留数法、局部分式展开法、长除法,、局部分式法,一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)都是变量z的实系数多项式，且没有公因式，可以把X(z)分解为局部分式的形式，然后求出各局部分式的z反变换根本变换对的公式可查表),将各反变换相加即得到x(n)。,如果X(z)只有一阶极点，那么X(z)展成,最好写成,A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm处极点的留数，即,如果X(z)中含有高阶极点，,设X(z)含有k个一阶极点，一个s阶极点zi，那么X(z)展成,其中Br用下式确定,、长除法,x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即,因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，那么级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，那么可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,如果用收敛域判定x(n)是右边序列，那么展开成负幂级数，为此X(z)的分子分母按z的降幂或z-1的升幂排列；,如果是左边序列，那么展开成正幂级数，为此X(z)的分子分母按z的升幂或z-1的降幂排列。,例：用两种方法求的反变换,解：局部分式法：,长除法,由收敛域知x(n)是右边序列，所以X(z)按z的降幂排列,因此得出,变换的性质和定理,、线性,线性就是要满足比例性和可加性，假设,那么,其中，即线性组合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些组合中某些零点和极点相互抵消，那么收敛域可能扩大。,、序列的移位,假设序列x(n)的z变换为,那么有,其中m为任意整数，m为正，那么为延迟，m为负那么为超前。,证：,对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是单边序列在z=0或z=处收敛域可能有变化,例如，Z(n)=1=1，在z平面处处收敛，但是Z(n-1)=z-1，在z=0处不收敛，而Z(n+1)=z，在z=处不收敛。,、乘以指数序列域的尺度变换,假设,那么,收敛域为，可是复数。,此性质说明X(z)如果在z=z1处为极点，那么X(a-1z)将在a-1z=z1，即z=az1处为极点。如果a为正实数，那么表示z平面缩小或扩大，零极点在z平面沿径向移动；假设a为复数，那么在z平面上，零极点既有幅度伸缩，又有角度旋转，因此此性质是一种z域尺度变换。,、序列的线性加权,假设序列x(n)的z变换为,那么,证明：由于z变换在其收敛域中处处解析,所以,通过递推可以证明：,式中,、共轭序列,假设,那么,、翻摺序列,假设,那么,证：,、初值定理,如果x(n)是因果序列，那么有,证明：因为x(n)是因果序列，有,所以,、终值定理,如果x(n)是因果序列，且其z变换的极点除在z=1处可以有一阶极点，其它极点均在单位圆内，那么有,证明：,x(n)是因果序列，那么,因为在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限，有,、有限项累加特性,设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n0,假设,那么,、序列的卷积和时域卷积和定理,假设,那么,证：,例：x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(-n),|a|b|，求y(n)=x(n)*h(n)。,解：由时域卷积定理,那么,因为Y(z)的收敛域为环形区域，故y(n)是双边序列，,、序列相乘域复卷积定理,假设,那么,其中C是哑变量v平面上，的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单闭合围线。,、帕塞瓦定理,假设,那么,其中C是在公共收敛域内的一条闭合围线。,变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系,变换与拉普拉斯变换的关系,、平面与平面,设连续信号为，其抽样信号为,它们的拉普拉斯变换分别为,应用理想抽样表达式，有,而抽样序列的z 变换为,比较上面两式，当时，抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换，即,即由s平面到z平面的映射关系为,将s平面用直角坐标表示为：,将z平面用极坐标表示为：,因此,结论：1r与的关系，,=0(s平面的虚轴)对应于r=1(z平面的单位圆上)；,0(s平面的左半平面)对应于r0(s平面的右半平面)对应于r1(z平面的单位圆外部)。,2和的关系，,=0(s平面实轴)对应于=0(z平面正实轴)；,=0(常数)(s平面平行于实轴的直线)对应于=0T(z平面始于原点，幅角为=0T的辐射线)。,注意:s平面与z平面的映射关系不是单值映射，每增加一个抽样角频率 ，那么相应增加一个2，即重复旋转一周，z平面重叠一次。,、与的关系,由时域抽样定理有,因此,傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，即s=j，因此有,抽样序列在单位圆上的z变换等于其抽样信号的傅立叶变换。,数字频率表示z平面的幅角，和模拟频率的关系为。,用数字频率作为z平面上单位圆的参数，即，,可得,因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换。,z变换与傅立叶变换的关系,离散系统的系统函数，系统的频率响应,系统函数的定义,一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入输出关系，即,对等式两边取变换得,那么,将H(z)定义为线性移不变系统的系统函数，是单位抽样响应h(n)的z变换，即,因果稳定系统,因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为,一个线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和条件，即,而z变换的收敛域由满足的那些z值确定，所以如果系统函数的收敛域包含单位圆|z|=1，那么系统是稳定的。,因此，一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个z域内收敛，即,也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。,系统函数和差分方程的关系,一个线性移不变系统可以用差分方程来描述，其一般形式为,假设系统的起始状态为零，直接对上式取z变换利用移位特性，得,将两个多项式分别进行因式分解，得,z=c,m,是H(z)的零点，z=d,k,是H(z)的极点，是由差分方程的系数a,k,和b,k,决定，除了比例常数K，系统函数完全由它的零点和极点来确定。,要根据H(z)唯一确定h(n)，必须同时确定系统的收敛域。例如对于稳定系统，其收敛域必须包含单位圆。,例：一线性移不变的因果系统差分方程为，,求系统的单位抽样响应h(n)，该系统是否稳定？,解：,由题意知，系统是因果系统，因此h(n)为因果序列，H(z)的收敛域为圆外部区域，即,所以,因为系统是因果的，收敛域为，不包含单位圆|z|=1，因此系统是不稳定的。,系统的频率响应,设系统的输入序列是频率为的复指数序列，即,线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，利用卷积,和，得到输出为,其中,是h(n)的傅立叶变换，称为系统的频率响应，,描述的是复指数序列经过线性移不变系统后，复振幅,包括幅度和相位的变化。,系统的频率响应正是系统函数H(z)在单位圆上的值，,即,当系统输入为正弦序列时，那么输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出的相位为输入相位与系统相位之和,证：设输入为,那么输出为,由于h(n)是实序列，因此满足共轭对称条件，也就是幅度为偶对称，相角为奇对称，即,例：设一阶系统的差分方程为,求系统的频率响应,解：将差分方程等式两端变换，得：,这是因果系统，求出单位抽样响应为,那么,幅度响应为,相位响应为,系统的极点在单位圆内，因此系统稳定,jImz,Rez,a,0,-1,h(n)=a,n,u(n),n,0,1,2,3,7,|H(e,j,)|,1/1-a,1/1+a,0a1,0,/2,3,/2,2,0,2,argH(e,j,),-1a0,IIR与FIR,IIR:从离散时域来看,假设系统的单位抽样(冲激)响应延伸到无穷长,称为无限长单位冲激响应系统.,FIR:假设系统的单位抽样(冲激)响应是一个有限长序列,称为有限长单位冲激响应系统.,
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