点的运动学(滚动)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,什么是运动学？,点的运动学,点的运动方程（轨迹）,点的速度,点的加速度,点的复合运动,刚体的运动学,刚体的平动（刚体上点的速度和加速度）,刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）,刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度）,刚体的定点运动和一般运动（不讲）,运动学,：研究物体运动的几何性质的科学。,.,第五章 点的运动,研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系,运动的,运动方程,、运动轨迹、速度和加速度。,书,137,页,5-,2,直角坐标法,当点的运动轨迹为已知直线或为未知时，,用直角坐标法描述点的运动规律。,1,点的运动方程和轨迹方程,取直角坐标系，点 在运动过程中，坐标 ，随时间而变化。,（,1,）运动方程,.,称为点 的运动轨迹的参数方程。,消去式中的参数,t,，可得到点的轨迹方程,空间曲线方程：,P138,点的速度,书,P137,.,P138,点的加速度,.,x,y,O,A,C,B,l,曲柄连杆机构中曲柄,OA,和连杆,A,B,的长度分别为,r,和,l,。且,lr,，角,=t,，其中,是常量。滑块,B,可沿轴,Ox,作往复运动，试求滑块,B,的运动方程，速度和加速度。,.,运 动 演 示,2/23,.,考虑滑块,B,在任意位置，由几何关系得,滑块,B,的坐标,将,=t,代入上式得,令,=,r,/,l,，,将上式的根式展开，有,x,y,O,A,C,B,l,解,:,.,略去,4,以及更高阶项，并利用关系,滑块,B,的速度和加速度为,x,y,O,A,C,B,l,则,可表示为,.,轨 迹 演 示,.,半径是,r,的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点,M,，,在初瞬时与轨道上的,O,点叠合；在瞬时,t,半径,MC,与轨道的垂线,HC,组成交角,=t,，其中,是常量。试求,M,点的运动方程，速度和加速度。,解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，,故有,OH,=,弧,MH,。在图示瞬时动点,M,的坐标为,H,C,D,M,x,y,O,A,.,当,t,=2n,时,这表示，当,M,点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。,这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。,M,点的切向加速度和法向加速度,注意，尖点,.,5-3,自然坐标法,1,、,弧坐标形式的运动方程,x,y,z,O,M,s,0,+,-,r,点的运动轨迹为已知曲线,坐标原点,O,在已知轨迹上任选一点。,弧坐标,s,沿轨迹从,O,到点,M,的弧长。,坐标正方向,指定坐标原点,O,的某一侧为正向。,.,曲率,(curvature),M,T,T,M,T”,曲率半径,(radius curvature),MTT”,极限位置所在的平面称为,密切面,(osculating plane),曲线的几何性质,.,法面,M,+s,密切面,切线,2,、速度与加速度,速度,加速度,副法线,主法线,反映速度大小的变化,反映速度方向的变化,速度、加速度矢量在密切面内,自然轴系,(trihedral axes on a curve),以点,M,为坐标原点，并跟随点,M,一起运动的直角坐标系，称为,自,然轴系,。,分解为两项,a,n,恒指向曲线凹侧,.,运 动 演 示,.,销钉,B,可沿半径等于,R,的固定圆弧滑道,DE,和摆杆的直槽中滑动，,AO,=,R,=0.1m,。,已知摆杆的转角 （时间以,s,计，,以,rad,计），试求销钉在,t,1,=,1/4 s,和,t,2,=,1 s,时的加速度。,R,O,R,E,D,B,C,s,O,A,-s,+s,选滑道上,O,点作为弧坐标的原点，,并以,O,D,为正向。则,B,点在任一瞬时的弧坐标,这就是,B,点的自然形式的运动方程。,教材题,5-7P154,.,例：,已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。,运动方程,:,解：,.,矢径法,描述点在空间运动的基本方法（推导公式时用）,*用矢径 描述点 在空间的位置随时间的变化。,点的运动方程,-,矢量形式,当 时，的极限位置为曲线在,M,点处的切线。此时 的极限即为,设点,M,沿轨迹运动，,t,瞬时在,M,点，用,r,(t),来描述。瞬时在 点，,用 描述。,在 时间间隔 内，点,M,的位移为 ，即矢径在 内的增量。,在 内点,M,的平均速度为,.,6-1,刚体的平行移动（简称平动或移动）,1,定义,刚体在运动过程中，其上任一条直线始终与其初始位置保持平行，,称为平动,1,）刚体上各点轨迹的形状相同。,2,）同一瞬时，刚体上各点的速度,和加速度完全相同。,因此，,平动刚体的运动学问题，,归结为点的运动学来处理,，,即刚体上任何一点的运动，就可,代表刚体上其它各点的运动。,.,平移刚体的运动特性：,刚体上所有点的,运动轨迹相同,速度相同,加速度相同,O,=0,.,平移刚体的动画演示,刚体的直线平移,刚体的曲线线平移,.,.,荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长,l,，单位为,m,。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中,t,为时间，单位为,s,；转角,0,的单位为,rad,，试求当,t,=0,和,t,=2 s,时，荡木的中点,M,的速度和加速度。,O,A,B,O,1,O,2,l,l,（,+,）,M,A,点的运动方程为,A,点的速度,A,点的加速度,代入,t,=0,和,t,=2,，,就可求得这两瞬时,A,点的,速度和加速度，亦即点,M,在这两瞬时的速度和加速度。,.,第六章 刚体的基本运动,6-2,刚体绕定轴的转动（简称定轴转动）,1,定义,刚体在运动过程中，其上有且只有一条直线始终固定不动时，,称刚体绕定轴转动,，该固定直线,称为轴线或转轴,。,.,.,不在轴线上的各点均作圆周运动；圆周所在平面垂直转轴；,圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。,.,6-3,定轴转动刚体上点的运动,定轴转动刚体上点的速度和加速度,1,、点的速度,2,、点的加速度,切向加速度大小：,法向加速度大小：,加速度的大小：,速度的大小：,速度的分布规律：,加速度的方向：,.,.,例,:,直径为,d,的轮子作匀速转动，每分钟转数为,n,。求轮缘上各点速度和加速度,由于轮子作匀速转动，所以,.,.,6-4,轮系的传动比,齿轮传动,机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。,图,7-6,所示为一对外接（啮合）齿轮。图,7-7,为一对内接齿轮。,（,1,）齿轮传动特点,两轮接触点的速度大小、方向相同。,两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。,.,2,皮带轮和链轮传动,皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。,（,1,）特点：,皮带不可伸长（理想化）。,设皮带与轮之间无相对滑动。,皮带（链条）上各点，,相同。,（,2,）传动比,观察图,7-9,，并由上述皮带传动特点可知：,.,例：,已知图示瞬时（,=30,）,圆盘的角速度为,和角加速度为,，求该瞬时杆上,A,点的速度和加速度。,O,A,c,.,解：,1,、建立,A,点的运动方程,O,A,c,2,、求,A,点的速度,3,、求,A,点的加速度,.,角速度矢量,.,6-5,相关物理量的矢量表示法,速 度：,加速度：,r,:,从转轴上任一点到,P,点的矢径,切向加速度,法向加速度,角 速 度：,角加速度：,k,为,z,轴的单位向量,R,:,P,点到转轴的距离,矢径原点在,O,结果相同,.,P,点速度：,问题：,若定轴转动刚体上固连一坐标系,Axyz,，其坐标轴的单位向量分别为,i,j k,。,求：,注：,第八章要用到该公式,.,用矢积表示点的速度,用矢积表示点的加速度,.,