第5章 分布参数系统的建模与仿真

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第,5,章 分布参数系统的建模与仿真,陈无畏,合肥工业大学机械与汽车工程学院,系统建模与仿真,5.1,分布参数系统的数学描述,定义：系统的状态变量、控制变量和被控,变量不仅仅是时间的函数，而且是空间坐标的函,数。,表示及描述方法：系统的模型表示为偏微分,方程、积分方程或是偏微分,积分方程，通常使,用偏微分方程来描述系统。,5.1,分布参数系统的数学描述,(,续）,对于确定型的偏微分方程，采用一阶描述,形式，可以用以下表达式,(5.1),(5.2),(5.3),(5.4),(5.5),现对上述表达式中的有关符号说明如下,5.1,分布参数系统的数学描述（续）,(1),自变量：常微分方程中自变量只有时间变量,t,，而,在偏微分方程中，其自变量除了时间 外，还有,空间自变量 ；,(2),输入变量 及输入段集合：映射 ；,(3),因变量：，且是,z,与,t,的函数；,5.1,分布参数系统的数学描述（续）,(4),式,(5.2),确定边界条件，表示,Z,的边,界，在 上随时间变化满足该等式；,(5),式,(5.3),表示初始条件，即规定初始时刻,在域内的值；,(6),输出变量 是空间和时间的函数；,(7),式,(5.5),规定了约束条件。,5.1,分布参数系统的数学描述（续）,当然，在某些情况下，系统是以高,阶偏微分方程的形式给出。一般说来，,经过适当变换，高阶偏微分方程可以转,换成一阶偏微分方程组。,5.1,分布参数系统的数学描述（续）,偏微分方程的典型形式,椭圆方程,抛物方程,双曲方程,5.1,分布参数系统的数学描述（续）,(1),双曲方程 典型的有,对流方程,(5.6),波动方程,(5.7),(2),抛物方程 典型的有,扩散方程,(5.8),对流,-,扩散方程,(5.9),(3),椭圆方程 典型的有,泊松方程,(5.10),5.1.2,分布参数系统模型的数学特征,分布特性：从动力学特性看，集中参数系,统的解算子形成一个群，而分布参数系统的解,算子一般只有半群的性质；从系统结构看，集,中参数系统只有集中控制和集中测量，而分布,参数系统有分布控制和分布测量、点控制和点,测量、边界控制和边界测量。,5.1.3,分布参数模型的有限差分法,有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近,似方法。常用方法之一就是中心差分法。假,设 ，当,t=,常值时，如图,5-1,所示为一,连续曲线 按照中心差分法，点的斜率可用下式,表示,5.1.3,分布参数模型的有限差分法（续）,(5.11),图,5-1,有限差分定义,5.1.3,分布参数模型的有限差分法（续）,对于二阶导数也可采用同样的方法得到，,于是可得以下偏导数表示式,5.1.3,分布参数模型的有限差分法（续）,为了计算方便，可以用一张二维网格图来表示，如图,5-2,所示。,图,5-2,二维网格图,5.1.4,有限元法,基本思想：把边界问题化为变分问题，对,求解区域 做剖分，使 成为有限个,“,单元,”,的和，在每一个单元上作未知函数的某种多项,式插值，使它们在相邻单元的公共边界上满足,某种连续性条件，以保证用这种分片插值函数,组成的有限维数空间,S,N,是未知函数解空间,V,的,子空间。,5.1.4,有限元法（续）,一种常采用的三角形单元如图,5-3,所示。,显见，有限元法不用网点阵列，而用许多相,互连接的小子区域或单元来表示所研究的介,质。,5.1.4,有限元法（续）,图,5-3,有限元离散化,5.1.5,区域分解算法,基本思想：把计算区域分解为若干子域，,子域的形状尽可能规则，于是原问题的求解,转化为在子域上的求解。,5.1,分布参数系统的数学描述,优点：,(1),它把大问题化为若干个小问,题，缩小了计算规模；,(2),子区域形状规则（如长方形,等），其上或者允许使用熟知的快速算,法，或者已经有解这类规则问题的高效,软件；,5.1.5,区域分解算法（续）,(3),允许使用局部拟一致网格，无需使用整体,拟一致网格，甚至各子域可以用不同的离散方,法进行计算；,(4),允许在不同子域选用不同的数学模型，以,便整体模型更适合于工程物理实际情况；,5.1.5,区域分解算法（续）,(5),算法是高度并行的，即计算的主要步骤是,在各子域内独立进行；,(6),对于对称区域问题有更简单的区域分解算,法。,5.2,典型的分布参数系统实例,例,扭振杆系统,如图,5-4,所示的扭振杆系统,图,5-4,扭振杆系统,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,对于厚度为 的一段扭杆，可用牛顿定,律得到把 和 联系起来的微分方程。由材,料力学得知，杆的上半段在任意时刻,t,作用在上,面的弹性力矩为,(5.14),5.2,典型的分布参数系统实例（续）,式中，是圆截面的极惯性矩，,G,是,材料的剪切弹性模量。在同一时间，因为,T,是位,置,y,的函数，故杆的下半段作用在单元下平面的,力矩是,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,(5.15),(5.16),由牛顿定律得,这个偏微分方程就是：一维波动方程。,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,解析法,1,有限差分法,2,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,用解析法求解方程,(5.16),。,取所有的初始条,件为零，于是得到,为求出 处角运动的频率响应，令,1.,解析法,(5.25),5.2,典型的分布参数系统实例（续）,如图,5-5,所示，其频率响应存在无限多个固,有频率，其数值可由下式算出,图,5-5,扭振模型的频率响应,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,(5.26),若结构以其中某一固有频率振动，则此时的,动态扭转曲线称为其振型。,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,根据式,(5.25),列出以下比值很容易得到其振,型。图,5-6,示出了前三阶振型。,图,5-6,扭振的各阶模态,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,2.,有限差分法,图,5-7,所示的是最简单的模型，在模型中取,以研究自由振动。用纯数学方法直接从偏,微分方程转换成近似的常微分方程。,对于图,5-7,的模型来说，在 点处可写出,(5.27),5.2,典型的分布参数系统实例（续）,图,5-7,扭杆的最简单的有限差分模型,5.2,典型的分布参数系统实例（续）,由于扭矩与扭转应变,成比例，故可写出,（后向差分）,(5.28),，式,(5.27),简化为,(5.29),(5.30,）,所以,上式给出单一固有频率,Thank You!,