25向量范数与矩阵范数解析

,哈尔滨工程大学,理学院,矩阵论教学团队,Department of Mathematics,College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材,矩阵论教程,国防工业出版社,2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/ 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉,(,正交,),变换与正交投影,5,向量范数与矩阵范数,6,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2,理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构,造标准正交基；,3,理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的,概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；,1,，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质，,理解内积空间的概念；,5,理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质；,重点：,施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；,正交投影；酉变换；算子范数；相容性,难点：,正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与,向量范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,4,理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义,及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求,常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性；,从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间,的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的,问题。,范数集中描述了向量空间的中大小和距离的度量。,设,V,是数域,F,(,R,或,C,),上的线性空间，实值函数,称为,向量范数,，是指对于任意,x,，,y,V,，满足下列性质：,空间,V,称为,赋范线性空间,，是,V,中向量,x,的范数，简称,向量范数,。,正定性,，且,齐次性,三角形不等式,定义,1,向量范数与矩阵范数,2.5,2.5.1,向量范数的概念与性质,向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，它具有如下的性质：,证明,(4),：,另一方面，,综上有，,两个重要不等式,设,2,（,Minkowski,不等式）：,其中实数 。,其中 且,1,（,H,lder,不等式）：,p,=2,，,Cauchy-Schwarz,不等式,向量空间中常用的范数,证明,:,只需验证,(1),正定性,(2),齐次性,(3),三角不等式,例,1,：,设向量 ，对任意的数,为向量 的,范数,。,称,:,设,(1),正定性显然。,(2),对任意的常数,由实值函数的定义,:,(3),由,Minkowski,不等式,知,p,1,，可知在同一个线性空间,中，可以定义不同的向量范数。,例,2,设,C,a,b,是由,a,b,上所有连续函数,f,(,x,),所构成的集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如下三种映射是该空间中常用的三种范数,1-,范数,p,-,范数,-,范数,利用线性空间中已知的范数构造新的范数,(1),是 上的范数,.,(2),是 上的范数,.,3,设 是线性空间 上的两个向量范,数,则对于任意的,有,:,例,证明,(1),：,当 时，由 ，可知,即正定性成立。,对任意的常数,k,C,，及任意的,x,V,，有,即齐次性成立。,即三角不等式成立。,对任意的,y,V,，有,(1),是 上的范数,.,例,4,设 是向量空间,C,n,上的任一向量，定义 ，试证，是,C,n,上的一个向量范数。,解答：,正定性显然成立。,对任意的常数,k,C,，及任意的,x,C,n,，有,对任意的,x,，,y,C,n,，有,该范数被称为,1-,范数,。即向量的长度只是沿各坐标方向的直线度量。,2.5.2,C,n,上常用范数及性质,例,5,设 是向量空间,C,n,上的任一向量，定义 ，试证，是,C,n,上的一个向量范数。,解答：,正定性显然成立。,对任意的常数,k,C,，及任意的,x,C,n,，有,对任意的,x,，,y,C,n,，有,该范数被称为,-,范数,。,例,6,设 是向量空间,C,n,上的任一向量，定义 ，试证，是,C,n,上的一个向量范数。,解答：,容易证得正定性及齐次性。下仅证三角不等式,对任意的,x,，,y,C,n,，有,该范数被称为,2-,范数,(Euclid,范数,),。最常用的向量范数。,而,是关于其分量 的实值函数,记,则对任意的 可以表示成,:,设 是 中的向量 的,向量范数,则 必为 的连续函数,于是有,:,定理,1,证明,:,设,C,n,中的一组基为,又由于 是固定向量 的范数,所以,它与,是无关的,所以,当 时,有,:,所以 必为 的连续函数,设 是,n,维线性空间,V,中定义的两种向量范数，则一定存在两个与,x,无关的正常数,m,，,M,，使得对,V,中所有向量,x,有,定理,2,则称 在,n,维线性空间,V,中等价。,证明,:,当,x=0,时,结论显然成立；当,x,0,时，空间中的范数是其分量的连续函数，因此定义函数,由于,S,是有限闭集，且,f,(,x,),在,S,上的点均不为,0,，因此，,f,(,x,),在,S,上连续。根据多元函数的性质，在,S,上可取得最大值,M,与最小值,m,，即,则,f,(,x,),也是 的连续函数,.,考虑线性空间中的单位球面,注意到,对任意的向量,x,V,，且,x,0,，则,在,n,维 线性空间,V,中等价。,例,7,中的 和 两两等价,.,证明,:(1),设,则有,所以 等价,(2),所以,即 等价,设,F,n,n,是数域,F,(,R,或,C,),上所有,n,n,矩阵全体构成的线性空间。实值函数 称为,矩阵范数,，是指对于任意矩阵,A,，,B,F,n,n,满足下列性质,(1),正定性,:,当且仅当,:,(2),齐次性：,(4),相容性：,(3),三角不等式：,定义,2,称实数,|,A,|,是,矩阵,A,的范数。,2.5.3,矩阵范数的概念及性质,定理,3,设,A,B,C,nn,(,或,R,nn,),，则,(4),R,nn,(,或,C,nn,),上任意两个范数等价，,即若两范数 等价，是指存在两个,正数,d,1,d,2,，使得,(3)|,A,|,是关于矩阵,A,各元素,a,ij,的连续函数。,例,8,设 是线性空间,C,nn,上的两个矩阵范数,证明 也是,C,nn,上的矩阵范数。,证明,非负性，齐次性和三角不等式的成立是显,然的，下面只要证明相容性成立即可。,例,9,设,S,C,n n,可逆，,|,为给定的,C,n n,中的,矩阵范数，对于任意的,A,C,n n,，定义函数,，证明,|,A,|,也是,C,n n,中的矩阵范数。,证明,当,A,0,时，由于,S,可逆，则,S,-1,AS,0,，从而,对任意的,k,C,，有,对任意的,B,C,n n,，有,因此，,|,A,|,也是,C,n n,中的矩阵范数。,例,10,设,F,n,n,是数域,F,（,R,或,C,）上所有,n,n,矩阵全体,构成的的线性空间。对任意,A,F,n,n,，验证,都是,F,n,n,上的矩阵范数。,m,1,-,范数,m,2,-,范数,m,-,范数,2.5.4,C,n,上常用的范数及性质,证明,(1),对 进行验证。,满足正定性,当且仅当,A,为零矩阵时，,|,A,|=0,。,满足齐次性,满足三角不等式,满足相容性,是定义在,F,n,n,上的矩阵范数。,证明,(2),对 进行验证。,根据范数的定义，显然正定性和齐次性成立。下证三角不等式和相容性。,满足三角不等式,利用,Minkowski,不等式,满足相容性,是定义在,F,n,n,上的矩阵范数。,利用,Hlder,不等式,证明,(3),对 进行验证。,正定性，齐次性和三角不等式容易证明，下面只证明相容性。,满足相容性,m,2,-,范数,又被称为,Frobenious,范数,，简称,F,-,范数,。记做,|,A,|,F,定理,4,设任意的方阵,A,C,n,n,，若,A,按列分块，即,，其中 为,A,的第,i,列，则,定理,5,设任意的方阵,A,C,n,n,，则有,其中,Tr,(,A,H,A,),是,A,H,A,的迹。,设,A,C,n,n,，,U,，,V,是,C,n,n,中的酉矩阵，则,称之为,F,范数的酉不变性,定理,6,证明,由于,U,，,V,是,C,n,n,中的酉矩阵，则有,因此，,Good,Bye,