2.3数学归纳法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,数学归纳法,(1),问题,1:,大球中有,5,个小球，如何证明它们都是,绿色的？,问题,2:,完全归纳法,不,完全归纳法,问题,3,：,某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。,问题情境一,费马,(Fermat),曾经提出一个猜想：,形如,F,n,2,2,n,+1(n=0,1,2,),的数都是质数,100,年后,问题情境二,：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,结论一定可靠,结论,不,一定可靠,考察,全体,对象,得到一般结论的推理方法,考察,部分,对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为,完全归纳法,和,不,完全归纳法,归纳法,多米诺骨牌课件演示,（,2,）验证前一问题与后一问题有递推关系；,（相当于前牌推倒后牌）,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？,（,1,）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）,问题情境三,思考,:,问题,2,中证明数列的通项公式 这个猜想,与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗,?,你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗,?,由条件知,n=1,时猜想成立,.,如果,n=k,时猜想成立,即,那么当,n=k+1,时猜,想也成立,即,事实上,即,n=k+1,时猜想也成立,.,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时命题成立,;,（,2,）假设当,n=k(kN,*,k n,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立,.,这种证明方法,叫做,数学归纳法,数学归纳法,【,归纳递推,】,【,归纳奠基,】,框图表示,例,1.,用数学归纳法证明,1.,用数学归纳法证明等式,1+2+3+,(2n+1)=(n+1)(2n+1),时，,当,n,1,时，左边所得项是,；,当,n,2,时，左边所得项是,；,1+2+3,1+2+3+4+5,A,、,1,B,、,1+a,C,、,1+a+a,2,D,、,1+a+a,2,+a,3,C,课堂练习：,例,2.,用数学归纳法证明：如果,a,n,是一个等差数列，则,a,n,=,a,1,+(n-1)d,对于一切,nN*,都成立。,证明,:(1),当,n=1,时,左边,=a,1,右边,=a,1,+,（,1-1,）,d=a,1,当,n=1,时，结论成立,(2),假设当,n=k,时结论成立，即,a,k,=a,1,+(k-1)d,则当,n=k+1,时,a,k,+1,=a,k,+d,=a,1,+(k-1)d+d,=a,1,+(k+1)-1d,当,n=k+1,时，结论也成立。,由,(1),和,(2),知,等式对于任何,nN,*,都成立。,凑假设,结论,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,注意,1,.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可,.,2,(1)(,归纳奠基,),是递推的基础,.,找准,n,0,(2)(,归纳递推,),是递推的依据,n,k,时命题成立作为必用的条件运用，而,n,k+1,时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明,例,3,用数学归纳法证明,【,分析,】(1),第一步应做什么,?,本题的,n,0,应取多少,?,n,0,=1,（,2,）在证传递性时，假设什么？求证什么,?,假设,1+3+5+.+,（,2k-1,）,=k,2,求证,1+3+5,十,.,十,(2k-1),十,(2k+1)=(k+1),2,（,3,）怎样将假设,1+3+5+.+,（,2k-1,）,=k,2,推理变形为,1+3+5,十,.,十,(2k-1),十,(2k+1)=(k+1),2,证明：当,n=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立。假设,n=k(kN,k1),时等式成立,即：,1+3+5+,+(2k-1)=k,2,，当,n=k+1,时：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1=k,2,+2k+1=(k+1),2,，,所以当,n=k+1,时等式也成立。由和可知，对,nN,，原等式都成立。,例,3,、用数学归纳法证明,1+3+5+,+(2n-1)=n,2,（,nN,）,.,请问：,第步中,“,当,n=k+1,时,”,的证明可否改换为：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+,+(2k-1)+(2k+1),=(k+1),2,?,为什么？,1,、,用数学归纳法证明：,1+2+3+,+n=n(n+1)/2(nN),；,证明,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=1,等式是成立的。,(2),假设当,n=k,时等式成立，就是,1+2+3+,+k,=,k(k+1)/2,那么，,1+2+3+,+k,+(k+1),=,k(k+1)/2,+(k+1),=(k+1)(k+1)+1/2,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立。,因此,根据,(1),和,(2),可断定,等式对于任何,nN,都成立。,练习：,2,、用数学归纳法证明：,1+2+2,2,+,+2,n-1,=2,n,-1(nN*),证明,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=1,等式是成立的。,(2),假设当,n=k,时等式成立，就是,1+2+2,2,+,+2,k-1,=,2,k,-1,那么，,1+2+2,2,+,+2,k-1,+2,k,=,2,k,-1,+2,k,=22,k,-1,=2,k+1,-1,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立。,因此,根据,(1),和,(2),可断定,等式对于任何,nN*,都成立。,练习：,分析,:,找到,“,递推关系,”,就等于把握住解决问题的,“,灵魂,”,。,有几项？,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例,4,对于,nN,*,用数学归纳法证明：,事实上,f(k+1),不但比,f,（,k,）多一项，而且前,k,项中每一项分别比,f,（,k,）中多了,1,2,3,4k,f(k+1)=f(k)+1+2+3+k,证明：设,f(n)=,(1),当,n,1,时，左边,1,，右边,1,，等式成立,(2),设当,n,k,时等式成立，即,则,n=k+1,时，,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+,+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1),=f(k)+1+2+3+k+(k+1),由（,1,）（,2,）可知当,nN*,时等式都成立。,例,5,、求证,:,(,n+1)(n+2),(n+n)=2,n,1,3,(2n-1),证明：,n=1,时：左边,=1+1=2,，右边,=2,1,1=2,，左边,=,右边，等 式成立。,假设当,n=k(kN,）时有：,(k+1)(k+2),(k+k)=2,k,1,3,(2n-1),当,n=k+1,时：,左边,=(k+2)(k+3),(k+k)(k+k+1)(k+k+2),=(k+1)(k+2)(k+3),(k+k),=2,k,1,3,(2k-1)(2k+1),2,=2,k+1,1,3,(2k-1),2(k+1)-1=,右边，,当,n=k+1,时等式也成立。,由、可知，对一切,nN,原等式均成立。,1.,数学归纳法是一种证明与,正整数,有关的数学命题的重要方法,.,主要有两个步骤一个结论,:,【,归纳奠基,】,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,（如,n,0,=1,或,2,等）时结论正确,（,2,）假设,n=k,时结论正确，证明,n=k+1,时结论也正确,（,3,）由（,1,）、（,2,）得出结论,【,归纳递推,】,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明结论,才算完整,归纳小结,作业,:,