单位冲击函数_卷积课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,0-2 单位冲击函数,d,-Function,一、定义,f,n,(,x,)可以是,N,rect(,Nx,),N,sinc(,Nx,),N,Gaus(,Nx,),二维圆域函数等等.,物理系统已无法分辨更窄的函数,定义1.,定义2.基于函数系列的极限,:,练习:画出rect(,x,),10rect(10,x,),sinc(,x,),10sinc(10,x,)的示意图.,可描述:,单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率,等等.,0-2 单位冲击函数 d-Function 一、定,1,0-2单位冲击函数,d,-Function,一、定义(续),0,x,d,(,x,),1,1,0,x,d,(,x,y,),y,d,-函数的图示:,定义3:设任意函数,f,(,x,)在,x,=0点连续,则,f,(,x,)称为检验函数.,0-2单位冲击函数 d-Function 一、定义(,2,0-2,d,-函数,二、性质,1.筛选性质 sifting(由定义3直接可证),设,f,(,x,)在,x,0,点连续,则,证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习),推论:,d,(,x,)是偶函数,2.缩放性质 scaling,与普通函数缩放性质的区别:,普通函数:因子,a,不影响函数的高度,但影响其宽度,d,-函数:因子,a,不影响函数的宽度,但影响其高度,通过此积分,可从,f,(,x,)中筛选出单一的,f,(,x,0,)值.,0-2 d-函数 二、性质1.筛选性质,3,0-2,d,-函数,二、性质(续),3.乘积性质,设,f,(,x,)在,x,0,点连续,则:,f,(,x,),d,(,x,-,x,0,)=,f,(,x,0,),d,(,x,-,x,0,),任意函数与,d,-函数的乘积,是幅度变化了的,d,-函数,练习：计算,sinc(,x,),d,(,x,)2.sinc(,x,),d,(,x-,0.5),3.sinc(,x,),d,(,x-,1)4.(3,x,+5),d,(,x+,3),0-2 d-函数 二、性质(续)3.乘积性质设f,4,0-2,d,-函数,三、,d,-函数 的阵列-梳状函数 comb(,x,),表示沿,x,轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.,例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.,间隔为,t,的脉冲系列:,定义:,n,为整数,0-2 d-函数 三、d-函数 的阵列-梳,5,0-2,d,-函数,三、,d,-函数 的阵列-梳状函数 comb(,x,),梳状函数与普通函数的乘积:,f,(,x,),0,x,=,x,0,x,comb(,x),.,0,利用comb(,x,)可以对函数,f,(,x,)进行等间距抽样.,x,y,二维梳状函数:comb(,x,y,)=comb(,x,)comb(,y,),0-2 d-函数 三、d-函数 的阵列-梳状函数,6,练习,0-4：已知连续函数,f,(,x,)，若,x,0,b,0,利用,d,函数可筛选出函数在,x,=,x,0,+,b,的值，试写出运算式。,0-5:,f,(,x,)为任意连续函数，,a,0,求函数,g,(,x,)=,f,(,x,),d,(,x,+,a,)-,d,(,x,-,a,),并作出示意图。,0-6：已知连续函数,f,(,x,)，,a,0和,b,0。求出下列函数：,(1),h,(,x,)=,f,(,x,),d,(,ax,-,x,0,),(2),g,(,x,)=,f,(,x,)comb,(,x,-,x,0,)/,b,练习0-4：已知连续函数f(x)，若x0b0,利用d 函,7,0-2,d,-函数,练习,0-4:,0-5:,0-6:,g,(,x,),=f,(,x,),d,(,x,+,a,)-,d,(,x,-,a,),=,f,(,x,),d,(,x,+,a,)-,f,(,x,),d,(,x,-,a,),=,f,(,-a,),d,(,x,+,a,)-,f,(,a,),d,(,x,-,a,),h,(,x,),=f,(,x,),d,(,ax,-,x,0,),作图,0-2 d-函数 练习0-4:0-5:0-6:g(x),8,0-2 梳状函数,练习,0-6(2),0-2 梳状函数 练习 0-6(2),9,练习 0-7 画函数图形,(1),(2),练习 0-7 画函数图形(1)(2),10,0-3 卷积 convolution,一、概念的引入,例题,用宽度为,a,的狭缝，对平面上光强分布,f,(,x,)=2+cos(2,p,f,0,x,),扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。,0-3 卷积 convolution一、概念的引入例题,11,卷积 概念的引入,探测器输出的光功率分布,a,x,f,(,x,),1/,f,0,x,卷积运算,卷积 概念的引入探测器输出的光功率分布axf(x)1/,12,0-3 卷积 convolution,一、概念的引入(II),设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为,h,(,x,),物体分布,成像系统,像平面分布,像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述,f,(,x,),成像,x,x,0,x,1,f,(,x,1,),h,(,x-,x,1,),x,2,f,(,x,2,),h,(,x-,x,2,),f,(,0,),h,(,x,),0-3 卷积 convolution一、概念的引入(I,13,0-3 卷积 convolution,一、概念的引入,物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为,h,(,x,),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述,f,(,x,),成像,x,x,0,x,1,f,(,x,1,),h,(,x-,x,1,),x,2,f,(,x,2,),h,(,x-,x,2,),f,(,0,),h,(,x,),x,0-3 卷积 convolution一、概念的引入物平面,14,0-3 卷积 convolution,二、定义,若,f,(,x,)与,h,(,x,)有界且可积,定义,*,:卷积符号,g,(,x,)是,f,(,x,)与,h,(,x,)两个函数共同作用的结果.对于给定的,x,第一个函数的贡献是,f,(,x,),则第二个函数的贡献是,h,(,x-,x,).需要对任何可能的,x,求和.,g,(,x,)称为函数,f,(,x,)与,h,(,x,)的卷积.,二维函数的卷积:,0-3 卷积 convolution二、定义若f(x)与,15,0-3 卷积 convolution,三、计算方法-借助几何作图,t,h,(,t,),1/5,5 9,0,f,(,t,),1/3,4 6,t,0,f,(,t,),1/3,4 6,t,0,t,h,(,-,t,),1/5,-9 -5,0,x,h,(,x-,t,),x,-9,x,-5,t,4 6,0,练习:计算rect(,x,),*,rect(,x,),9 11 13 15,g,(,x),x,0,2/15,1.用哑元,t,画出函数,f,(,t,)和,h,(,t,);,2.将,h,(,t,)折叠成,h,(-,t,);,3.将,h,(-,t,)移位至给定的,x,h,-,(,t,-,x,)=,h,(,x,-,t,);,4.二者相乘;,5.乘积函数曲线下面积,的值即为,g,(,x,).,步骤:,0-3 卷积 convolution三、计算方法-借助,16,0-3 卷积 convolution,三、计算方法-几何作图法,练习:计算rect(,x,),*,rect(,x,),-1 0 1,g,(,x),x,1,1.用哑元,t,画出 二个,rect(,t,),2.将rect(,t,)折叠后不变;,3.将一个rect(-,t,)移位至给定的,x,0,rect,-,(,t,-,x,0,)=rect(,x,0,-,t,);,4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为,g,(,x,0,).,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,|,x,|1;,g,(,x,)=0,-,1,x,0;,g,(,x,)=1,x,+1/2,-(-1/2)=1,+x,0,x,1;,g,(,x,)=1,1/2-(,x,-1/2),=1-,x,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,x,0,-1/2,x,0,x,0,+1/2,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,rect(,x,),*,rect(,x,)=tri(,x,),0-3 卷积 convolution三、计算方法-几何,17,卷积 概念的引入：,回到前面的例题,探测器输出的光功率分布:,a,f,(,x,),1/,f,0,x,x,卷积 概念的引入：回到前面的例题探测器输出的光功率分布:,18,计算这个卷积:,讨论这个结果,f,(,x,)=2+cos(2,p,f,0,x,),计算这个卷积:讨论这个结果f(x)=2+cos(2pf0 x),19,练习,若,证明：,令,x-,x,=,x,证:,练习若证明：令 x-x=x证:,20,作业 0-8,若,证明：,作业 0-8若证明：,21,0-3 卷积 convolution,四、性质,1.,卷积满足交换律 Commutative Property,f,(,x,),*,h,(,x,)=,h,(,x,),*,f,(,x,),推论:卷积是线性运算 Linearity,av,(,x,)+,bw,(,x,),*,h,(,x,)=,a,v,(,x,),*,h,(,x,)+,b,w,(,x,),*,f,(,x,),2.,卷积满足分配律 Distributive Property,v,(,x,)+,w,(,x,),*,h,(,x,)=,v,(,x,),*,h,(,x,)+,w,(,x,),*,f,(,x,),3.,卷积满足结合律 Associative Property,v,(,x,),*,w,(,x,),*,h,(,x,)=,v,(,x,),*,h,(,x,),*,w,(,x,)=,v,(,x,),*,w,(,x,),*,h,(,x,),0-3 卷积 convolution四、性质1.卷积满,22,0-3 卷积 convolution,四、性质(续),4.卷积的位移不变性 Shift invariance,若,f,(,x,),*,h,(,x,)=,g,(,x,),则,f,(,x-x,0,),*,h,(,x,)=,g,(,x-x,0,),或,f,(,x,),*,h,(,x-x,0,)=,g,(,x-x,0,),5.卷积的缩放性质 Scaling,若,f,(,x,),*,h,(,x,)=,g,(,x,),则,0-3 卷积 convolution四、性质(续)4.,23,0-3 卷积 convolution,五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与,d,(,x,)卷积后不变,根据 1.,d,-函数是偶函数,2.,d,-函数的筛选性质,有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f,(,x,),*,d,(,x-x,0,)=,f,(,x-x,0,),f,(,x,)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生,f,(,x,)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.,=,*,b,b,a,a,a,利用卷积的位移不变性可得:,0-3 卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷,24,作业,0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为,a,，光栅常数为,d,，缝数为,N,.,0-10.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入,p,位相板，透过率怎样变化？,l,d,x,y,(透 过率=输出/输入),作业0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。,25,利用卷积性质求卷积的例子,作业 0-11：用图解法求图示两个函数的卷积,