简单的线性规划问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,x,y,o,简单的线性规划问题,阿城二中,2014,、,4,、,25,线性规划是数学规划理论中，应用较广泛的一个分支。,简单线性规划主要涉及两个变量，关注两类问题：,一是，在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何完成最多的任务；,二是，给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金来完成。,简单的线性规划问题,引例,某工厂有,A,、,B,两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,，每生产一件乙产品使用,4,个,B,配件耗时,2h,，该厂每天最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件，按每天,8h,计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？,（,1,）填写数据分析表,产品,A,配件,/,个,B,配件,/,个,时间,/h,甲产品,/,件,乙产品,/,件,4,4,0,0,1,2,设该厂每天分别生产甲产品,x,件,乙产品,y,件，由已知条件可得二,元一次不等式组：,（,2,）用不等式组表示问题中的限制条件,产品,A,配件,B,配件,时间,甲产品,/,件,4,0,1h,乙产品,/,件,0,4,2h,图中阴影部分中的整点代表所有可能 的日生产安排,.,（,3,）画出不等式组所表示的平面区域,y,x,4,o,3,8,1,2,3,4,（,4,）提出问题,若生产一件甲产品获利,2,万元，生产一件乙产品获利,3,万元，求日生产利润,z,关于,x,y,的关系式，并判断采用哪种生产安排利润最大？,解：,计数点,n,点坐标,利润,z,直线,z=2x+3y,方程,直线,z=2x+3y,的纵截距,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,（,2,，,3),13,2x+3y-13=0,13/3,(0,2),6,2x+3y-6=0,2,(1,2),8,2x+3y-8=0,8/3,(2,2),10,2x+3y-10=0,10/3,(3,2),12,2x+3y-12=0,4,(4,2),14,2x+3y,-14=0,14/3,(0,1,）,3,2x+3y,-3=0,1,（,1,1,）,5,2x+3y,-5=0,5/3,（,2,1,）,7,2x+3y,-7=0,7/3,（,3,1,）,9,2x+3y,-9=0,3,（,4,1,）,11,2x+3y,-11=0,11,（,0,0,）,0,2x+3y,=0,0,（,1,0,）,2,2x+3y,-2=0,2/3,(2,0),4,2x+3y,-4=0,4/3,(3,0),6,2x+3y-6=0,2,(4,0),8,2x+3y-8=0,8/3,（,0,3,）,9,2x+3y-9=0,3,（,1,3,）,11,2x+3y-11=0,11/3,（,6,）做出结论,当,x=4,y=2,即点坐标为（,4,，,2,）时，,z,取得最大值。,答：若该厂每天生产,4,个甲，,2,个乙，利润最大，最大利润为,14,万元。,猜想与假设？,（,7,）观察数据,计数点,n,点坐标,利润,z,直线,z=2x+3y,方程,直线,z=2x+3y,在,y,轴的截距,1,（,0,3,）,9,2x+3y-9=0,3,2,（,1,3,）,11,2x+3y-11=0,11/3,3,（,2,，,3,）,13,2x+3y-13=0,13/3,4,（,0,2,）,6,2x+3y-6=0,2,5,（,1,2,）,8,2x+3y-8=0,8/3,6,（,2,2,）,10,2x+3y-10=0,10/3,7,（,3,2,）,12,2x+3y-12=0,4,8,（,4,2,）,14,2x+3y,-14=0,14/3,9,（,0,1,）,3,2x+3y,-3=0,1,10,（,1,1,）,5,2x+3y,-5=0,5/3,探究,1,z,取得最大值的条件与,直线,z=2x+3y,在,y,轴的截距,取得最大值的条件一致？,已知,z=2x+3y,(x,y),满足,时,求,z,的最大值和最小值,.,线性目标函数,线性约束条件,线性规划问题,任何一个满足不等式组的（,x,y,）,可行解,可行域,所有的,最优解,(x,y),相关概念,解答线性规划问题的步骤,（,1,）读题列出 以及 ；,（,2,）根据 画出 ；,（,3,）令,z=,，做出直线,，直线 ，,使之经过,，,从而找到最优解；,（,4,）代入最优解求得 的最大及最小值。,线性约束条件,目标函数,线性约束条件,0,平移,可行域,目标函数,可行域,解答线性规划问题的步骤,第一步：列；,第二步：画；,第三步：移；,第四步：求。,例,1,、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物，,0.06kg,的蛋白质，,0.06kg,的脂肪，,1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.07kg,蛋白质，,0.14kg,脂肪，花费,28,元；而,1,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.14kg,蛋白质，,0.07kg,脂肪，花费,21,元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物,A,和食物,B,多少,kg,？,典例,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质,/kg,脂肪,kg,A,B,0.105,0.07,0.14,0.105,0.14,0.07,设每天食用,x(kg),食物,A,，,y(kg),食物,B,，,总花费成本为,z,，那么,目标函数：,z,28x,21y,解：,食物,kg,碳水化合物,kg,蛋白质,/kg,脂肪,kg,A,0.105,0.07,0.14,B,0.105,0.14,0.07,把目标函数,z,28x,21y,变形为,二、令,z=0,平移 ；,如图可见，当直线,z,28x,21y,经过可行域上的点,A,时，纵截距最小，即,z,最小；,一、画出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域；,三、解方程求,A,坐标,并代入求得,z=28x+21y=16,答：每天食用,A,食物约,0.143kg,B,食物,0.571kg,满足饮食要求，又使成本最低，最低成本为,16,元。,练 习,，求,z,的最大值和最小值,.,1,、设z=2x,+,y，变量x、y满足下列条件,2,、,铁矿石,A,和,B,的含铁率,a,，冶炼每万吨铁矿石的,CO,2,的排放量,b,及每万吨铁矿石的价格,c,如下表：,某冶炼厂至少要生产,1.9(,万吨,),铁，若要求,CO,2,的排放量不超过,2(,万吨,),，则,求,购买铁矿石的最少费用,。,练 习,铁矿石,含铁率,a,排放量,/,万吨,价格,/,百万元,A,50%,1,3,B,70%,0.5,6,铁矿石,含铁率,a,排放量,/,万吨,价格,/,百万元,A,50%,1,3,B,70%,0.5,6,解：设购买,x,万吨铁矿石,A,，,y,万吨铁矿石,B,，购买矿石花费,z,百万元,线性约束条件：,线性目标函数：,z=3x+6y,可行域如图,小 结,本节主要学习了线性约束下如何求目,标函数的,最值问题,正确列出变量的不等关系式,准确,作出,可行域,是解决目标函数最值的关健,求解最值时注意,z,的最值,与,目标函数在,y,轴截距,的关系。,课后思考,z,取得最大值的条件与直线,z=ax+by,在,y,轴的截距取得最大值的条件一致？,结论：,b0,时，一致；,b0,时，相反。,